Упр.49.33 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

1. а) Найдите площадь фигуры, ограниченной графиком функции $$y=x^3$$, касательной к нему в точке $$x=1$$ и осью $$y$$.
   б) Найдите площадь фигуры, ограниченной графиком функции $$y=x^3$$ и касательными к нему в точках $$x=0$$ и $$x=1$$.

Найдём производную функции $$y=x^3$$:

$$y’ = 3x^2$$

а)

Уравнение касательной в точке $$x=1$$:

$$y = y'(1)(x-1)+y(1)$$

$$y'(1)=3,\quad y(1)=1$$

Следовательно,

$$y=3(x-1)+1=3x-2$$

Искомая площадь равна

$$S=\int\limits_0^1 \bigl(x^3-(3x-2)\bigr)\,dx$$

$$S=\left(\frac{x^4}{4}-\frac{3x^2}{2}+2x\right)\Bigg|_0^1 =\left(\frac14-\frac32+2\right)-0=\frac34$$

б)

Найдём уравнения касательных в точках $$x=0$$ и $$x=1$$:

$$y'(0)=0,\quad y(0)=0 \Rightarrow y=0$$

$$y'(1)=3,\quad y(1)=1 \Rightarrow y=3x-2$$

Точка пересечения касательной $$y=3x-2$$ с осью $$Ox$$:

$$3x-2=0,\quad x=\frac23$$

Тогда площадь фигуры:

$$S=\int\limits_0^{2/3} x^3\,dx+\int\limits_{2/3}^1 \bigl(x^3-(3x-2)\bigr)\,dx$$

$$S=\left(\frac{x^4}{4}\right)\Bigg|_0^{2/3} +\left(\frac{x^4}{4}-\frac{3x^2}{2}+2x\right)\Bigg|_{2/3}^1$$

$$S=\frac{4}{81}+\left(\frac14-\frac32+2-\left(\frac{4}{81}-\frac23+\frac43\right)\right) =\frac{1}{12}$$

Ответ

а) $$\frac34$$; б) $$\frac{1}{12}$$.