Упр.49.32 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

1. Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями: а) $$y=\sin 2x$$, $$y=\frac{16x^2}{\pi^2}$$; б) $$y=x^2-1$$, $$y=\cos\frac{\pi x}{2}$$; в) $$y=\cos x$$, $$y=\left(\frac{2x}{\pi}-1\right)^2$$; г) $$y=x^2-2x$$, $$y=\sin\frac{\pi x}{2}$$.

а) Точки пересечения графиков найдём из уравнения

$$\sin 2x=\frac{16x^2}{\pi^2}.$$

Подходит отрезок $$[0;\frac{\pi}{4}]$$, так как

$$\sin 0=\frac{16\cdot 0^2}{\pi^2}=0,\qquad \sin\frac{\pi}{2}=\frac{16\left(\frac{\pi}{4}\right)^2}{\pi^2}=1.$$

Тогда площадь равна

$$S=\int\limits_0^{\pi/4}\left(\sin 2x-\frac{16x^2}{\pi^2}\right)\,dx =\left(-\frac12\cos 2x-\frac{16}{\pi^2}\cdot\frac{x^3}{3}\right)\Bigg|_0^{\pi/4}.$$

$$S=\left(-\frac12\cos\frac{\pi}{2}-\frac{16}{3\pi^2}\cdot\frac{\pi^3}{64}\right)-\left(-\frac12\cos 0\right) =\frac12-\frac{\pi}{12} =\frac{6-\pi}{12}.$$

Ответ: $$\frac{6-\pi}{12}.$$

б) Точки пересечения графиков найдём из уравнения

$$x^2-1=\cos\frac{\pi x}{2}.$$

Подходят точки $$x=-1$$ и $$x=1$$, так как

$$(-1)^2-1=0,\qquad \cos\left(-\frac{\pi}{2}\right)=0,$$

$$1^2-1=0,\qquad \cos\frac{\pi}{2}=0.$$

Площадь фигуры:

$$S=\int\limits_{-1}^{1}\left(\cos\frac{\pi x}{2}-(x^2-1)\right)\,dx =\int\limits_{-1}^{1}\left(\cos\frac{\pi x}{2}-x^2+1\right)\,dx.$$

$$S=\left(\frac{2}{\pi}\sin\frac{\pi x}{2}-\frac{x^3}{3}+x\right)\Bigg|_{-1}^{1} =\frac{4}{\pi}+\frac{4}{3} =\frac{4(3+\pi)}{3\pi}.$$

Ответ: $$\frac{4(3+\pi)}{3\pi}.$$

в) Точки пересечения графиков найдём из уравнения

$$\cos x=\left(\frac{2x}{\pi}-1\right)^2.$$

Подходят точки $$x=0$$ и $$x=\frac{\pi}{2}$$, так как

$$\cos 0=1,\qquad \left(\frac{2\cdot 0}{\pi}-1\right)^2=1,$$

$$\cos\frac{\pi}{2}=0,\qquad \left(\frac{2\cdot \frac{\pi}{2}}{\pi}-1\right)^2=0.$$

Тогда

$$S=\int\limits_0^{\pi/2}\left(\cos x-\left(\frac{2x}{\pi}-1\right)^2\right)\,dx.$$

Раскроем квадрат:

$$\left(\frac{2x}{\pi}-1\right)^2=\frac{4x^2}{\pi^2}-\frac{4x}{\pi}+1.$$

Следовательно,

$$S=\int\limits_0^{\pi/2}\left(\cos x-\frac{4x^2}{\pi^2}+\frac{4x}{\pi}-1\right)\,dx =\left(\sin x-\frac{4x^3}{3\pi^2}+\frac{2x^2}{\pi}-x\right)\Bigg|_0^{\pi/2}.$$

$$S=1-\frac{\pi}{6}=\frac{6-\pi}{6}.$$

Ответ: $$\frac{6-\pi}{6}.$$

г) Точки пересечения графиков найдём из уравнения

$$x^2-2x=\sin\frac{\pi x}{2}.$$

Подходят точки $$x=0$$ и $$x=2$$, так как

$$0^2-2\cdot 0=0,\qquad \sin 0=0,$$

$$2^2-2\cdot 2=0,\qquad \sin\pi=0.$$

Площадь фигуры:

$$S=\int\limits_0^2\left(\sin\frac{\pi x}{2}-(x^2-2x)\right)\,dx.$$

$$S=\left(-\frac{2}{\pi}\cos\frac{\pi x}{2}-\frac{x^3}{3}+x^2\right)\Bigg|_0^2.$$

$$S=\left(-\frac{2}{\pi}\cos\pi-\frac{8}{3}+4\right)-\left(-\frac{2}{\pi}\cos 0\right) =\frac{4}{3}+\frac{4}{\pi} =\frac{4(3+\pi)}{3\pi}.$$

Ответ: $$\frac{4(3+\pi)}{3\pi}.$$