Упр.49.31 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

1. Найдите площадь параболического сегмента, изображённого на: а) рис. 74; б) рис. 75.

а) По рисунку парабола проходит через точки $$(-1,0)$$, $$\left(1,1\right)$$ и $$\left(2,0\right)$$, значит её уравнение можно записать в виде

$$y=-x(x-2)=-x^2+2x.$$

Прямая проходит через точки $$\left(0,-2\right)$$ и $$\left(2,0\right)$$, поэтому

$$y=x-2.$$

Площадь параболического сегмента равна

$$S=\int\limits_{-1}^{2}\bigl((-x^2+2x)-(x-2)\bigr)\,dx =\int\limits_{-1}^{2}(-x^2+x+2)\,dx.$$

$$S=\left(-\frac{x^3}{3}+\frac{x^2}{2}+2x\right)\Bigg|_{-1}^{2} =\left(-\frac{8}{3}+2+4\right)-\left(\frac{1}{3}+\frac{1}{2}-2\right) =\frac{9}{2}.$$

б) По рисунку парабола имеет вершину $$\left(1,-2\right)$$ и проходит через точки $$(-1,2)$$ и $$\left(2,-1\right)$$. Тогда

$$y=x^2-2x-1.$$

Прямая проходит через точки $$(-1,2)$$ и $$\left(2,-1\right)$$, значит её уравнение:

$$y=-x+1.$$

Тогда площадь искомой фигуры:

$$S=\int\limits_{-1}^{2}\bigl((-x+1)-(x^2-2x-1)\bigr)\,dx =\int\limits_{-1}^{2}(-x^2+x+2)\,dx.$$

$$S=\left(-\frac{x^3}{3}+\frac{x^2}{2}+2x\right)\Bigg|_{-1}^{2} =\frac{9}{2}.$$

Ответ

а) $$\frac{9}{2}$$; б) $$\frac{9}{2}$$.