Упр.49.30 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

1. а) $$\int_{0}^{\sqrt{2}}\sqrt{4-x^2}\,dx$$; б) $$\int_{-4}^{4}\sqrt{64-x^2}\,dx$$.

Рассмотрим подынтегральную функцию $$y=\sqrt{4-x^2}.$$ Тогда

$$y^2=4-x^2,$$

$$x^2+y^2=4,$$

то есть это верхняя полуокружность радиуса $$R=2.$$

На отрезке $$0\le x\le \sqrt2$$ площадь под графиком состоит из площади треугольника $$OAB$$ и площади сектора с центральным углом $$45^\circ.$$

Найдём эти площади:

$$OA=2,\quad OB=\sqrt2,$$

$$AB=\sqrt{OA^2-OB^2}=\sqrt{4-2}=\sqrt2.$$

Тогда

$$S_1=\frac12\cdot AB\cdot OB=\frac12\cdot \sqrt2\cdot \sqrt2=1,$$

$$S_2=\frac{\pi R^2\cdot 45^\circ}{360^\circ}=\frac{\pi\cdot 2^2\cdot 45}{360}=\frac{\pi}{2}.$$

Следовательно,

$$\int\limits_0^{\sqrt2}\sqrt{4-x^2}\,dx=S_1+S_2=1+\frac{\pi}{2}.$$

Аналогично для

$$\int\limits_{-4}^{4}\sqrt{64-x^2}\,dx$$

имеем верхнюю полуокружность радиуса $$R=8.$$ Этот интеграл равен площади всей верхней полуокружности:

$$\int\limits_{-4}^{4}\sqrt{64-x^2}\,dx=\frac12\pi R^2=\frac12\pi\cdot 8^2=32\pi.$$

Ответ: а) $$\frac{\pi}{2}+1$$; б) $$32\pi$$.