Упр.49.27 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

1. Вычислите: а) $$\int_{-3}^{6} f(x)\,dx$$, где $$f(x)=\begin{cases}x^2, & -3\leq x\leq 2,\\6-x, & x>2;\end{cases}$$ б) $$\int_{\frac{1}{4}}^{2} f(x)\,dx$$, где $$f(x)=\begin{cases}\frac{1}{\sqrt{x}}, & 01.\end{cases}$$

а) Разобьём интеграл в точке смены задания функции:

$$\int_{-3}^{6} f(x)\,dx=\int_{-3}^{2} x^2\,dx+\int_{2}^{6} (6-x)\,dx.$$

Вычислим:

$$\int_{-3}^{2} x^2\,dx=\left.\frac{x^3}{3}\right|_{-3}^{2}=\frac{2^3}{3}-\frac{(-3)^3}{3}=\frac{8}{3}+9=\frac{35}{3},$$

$$\int_{2}^{6} (6-x)\,dx=\left.(6x-\frac{x^2}{2})\right|_{2}^{6}=\left(36-\frac{36}{2}\right)-\left(12-\frac{4}{2}\right)=18-10=8.$$

Тогда

$$\int_{-3}^{6} f(x)\,dx=\frac{35}{3}+8=\frac{59}{3}=19\frac{2}{3}.$$

б) Снова разобьём интеграл по точке $$x=1$$:

$$\int_{1/4}^{2} f(x)\,dx=\int_{1/4}^{1}\frac{1}{\sqrt{x}}\,dx+\int_{1}^{2} x^3\,dx.$$

Вычислим:

$$\int_{1/4}^{1}\frac{1}{\sqrt{x}}\,dx=\int_{1/4}^{1} x^{-1/2}\,dx=\left.2\sqrt{x}\right|_{1/4}^{1}=2\left(1-\frac12\right)=1,$$

$$\int_{1}^{2} x^3\,dx=\left.\frac{x^4}{4}\right|_{1}^{2}=\frac{16-1}{4}=\frac{15}{4}.$$

Следовательно,

$$\int_{1/4}^{2} f(x)\,dx=1+\frac{15}{4}=\frac{19}{4}=4{,}75.$$

Ответ: а) $$19\frac{2}{3}$$; б) $$4{,}75$$.