Упр.49.26 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)
а) $$y=3-x^2$$, $$y=1+|x|$$; б) $$y=x^2$$, $$y=2-|x|$$.
а) Графики функций $$y=3-x^2$$ и $$y=1+|x|$$ чётные, поэтому искомая фигура симметрична относительно оси $$Oy$$.
Найдём точки пересечения при $$x\ge 0$$:
$$3-x^2=1+x$$
$$x^2+x-2=0$$
$$D=1+8=9,\quad x_1=-2,\quad x_2=1.$$
На отрезке $$[0;1]$$ верхняя функция — $$y=3-x^2$$, нижняя — $$y=1+x$$. Тогда
$$S_1=\int_0^1\bigl((3-x^2)-(1+x)\bigr)\,dx=\int_0^1(2-x-x^2)\,dx.$$
$$S_1=\left(2x-\frac{x^2}{2}-\frac{x^3}{3}\right)\Bigg|_0^1=2-\frac12-\frac13=\frac76.$$
Искомая площадь:
$$S=2S_1=2\cdot\frac76=\frac73=2\frac13.$$
Ответ
$$2\frac13$$
б) Графики функций $$y=x^2$$ и $$y=2-|x|$$ также чётные, значит фигура симметрична относительно оси $$Oy$$.
Найдём точки пересечения при $$x\ge 0$$:
$$x^2=2-x$$
$$x^2+x-2=0$$
$$D=1+8=9,\quad x_1=-2,\quad x_2=1.$$
На отрезке $$[0;1]$$ верхняя функция — $$y=2-x$$, нижняя — $$y=x^2$$. Тогда
$$S_1=\int_0^1\bigl((2-x)-x^2\bigr)\,dx=\int_0^1(2-x-x^2)\,dx.$$
$$S_1=\left(2x-\frac{x^2}{2}-\frac{x^3}{3}\right)\Bigg|_0^1=2-\frac12-\frac13=\frac76.$$
Следовательно,
$$S=2S_1=2\cdot\frac76=\frac73=2\frac13.$$
Ответ
$$2\frac13$$
