Упр.49.24 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

а) Найдём точки пересечения графиков:

$$x^2-4x=-(x-4)^2$$

$$x^2-4x=-x^2+8x-16$$

$$2x^2-12x+16=0$$

$$x^2-6x+8=0$$

$$(x-2)(x-4)=0$$

$$x=2,\; x=4$$

На отрезке $$[2;4]$$ сверху расположена функция $$y=-(x-4)^2$$, снизу — $$y=x^2-4x$$. Тогда

$$S=\int\limits_{2}^{4}\Bigl(-(x-4)^2-(x^2-4x)\Bigr)\,dx =\int\limits_{2}^{4}(12x-2x^2-16)\,dx$$

$$S=\left(6x^2-\frac{2x^3}{3}-16x\right)\Bigg|_{2}^{4}$$

$$S=\left(6\cdot 4^2-\frac{2\cdot 4^3}{3}-16\cdot 4\right) -\left(6\cdot 2^2-\frac{2\cdot 2^3}{3}-16\cdot 2\right) =\frac{8}{3}$$

б) Найдём точки пересечения графиков:

$$x^2+2x-3=-x^2+2x+5$$

$$2x^2-8=0$$

$$x^2=4$$

$$x=\pm 2$$

На отрезке $$[-2;2]$$ сверху расположена функция $$y=-x^2+2x+5$$, снизу — $$y=x^2+2x-3$$. Тогда

$$S=\int\limits_{-2}^{2}\Bigl((-x^2+2x+5)-(x^2+2x-3)\Bigr)\,dx =\int\limits_{-2}^{2}(8-2x^2)\,dx$$

$$S=\left(8x-\frac{2x^3}{3}\right)\Bigg|_{-2}^{2} =\frac{64}{3}$$

Ответ: а) $$\frac{8}{3}$$; б) $$\frac{64}{3}$$.