Упр.49.22 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

а) $$y=e^x,\ y=\frac{1}{x},\ x=2,\ x=3$$; б) $$y=\frac{1}{x},\ y=1,\ x=5$$; в) $$y=\sqrt{x},\ y=\frac{1}{x},\ x=4$$; г) $$y=-\frac{1}{x},\ y=-1,\ x=e$$.

а) Точки пересечения графиков $$y=e^x$$ и $$y=\frac{1}{x}$$ на отрезке $$[2;3]$$ не лежат, поэтому на этом промежутке $$e^x>\frac{1}{x}$$. Тогда

$$S=\int_{2}^{3}\left(e^x-\frac{1}{x}\right)\,dx =\left(e^x-\ln|x|\right)\Big|_{2}^{3} =(e^3-\ln 3)-(e^2-\ln 2) =e^3-e^2+\ln\frac{2}{3}.$$

Ответ: $$e^3-e^2+\ln\frac{2}{3}$$.

б) Графики $$y=\frac{1}{x}$$ и $$y=1$$ пересекаются при $$x=1$$. На отрезке $$[1;5]$$ имеем $$1\ge \frac{1}{x}$$, значит

$$S=\int_{1}^{5}\left(1-\frac{1}{x}\right)\,dx =\left(x-\ln|x|\right)\Big|_{1}^{5} =(5-\ln 5)-(1-\ln 1) =4-\ln 5.$$

Ответ: $$4-\ln 5$$.

в) Точки пересечения графиков $$y=\sqrt{x}$$ и $$y=\frac{1}{x}$$ находятся из уравнения

$$\sqrt{x}=\frac{1}{x}\quad \Rightarrow \quad x=1.$$

На отрезке $$[1;4]$$ имеем $$\sqrt{x}\ge \frac{1}{x}$$, поэтому

$$S=\int_{1}^{4}\left(\sqrt{x}-\frac{1}{x}\right)\,dx =\int_{1}^{4}\left(x^{1/2}-\frac{1}{x}\right)\,dx =\left(\frac{2}{3}x^{3/2}-\ln|x|\right)\Big|_{1}^{4}.$$

$$S=\left(\frac{2}{3}\cdot 4^{3/2}-\ln 4\right)-\left(\frac{2}{3}\cdot 1^{3/2}-\ln 1\right) =\frac{16}{3}-\ln 4-\frac{2}{3} =\frac{14}{3}-\ln 4.$$

Ответ: $$\frac{14}{3}-\ln 4$$.

г) Графики $$y=-\frac{1}{x}$$ и $$y=-1$$ пересекаются при

$$-\frac{1}{x}=-1 \quad \Rightarrow \quad x=1.$$

На отрезке $$[1;e]$$ имеем $$-\frac{1}{x}\ge -1$$, значит

$$S=\int_{1}^{e}\left(-\frac{1}{x}-(-1)\right)\,dx =\int_{1}^{e}\left(1-\frac{1}{x}\right)\,dx =\left(x-\ln|x|\right)\Big|_{1}^{e}.$$

$$S=(e-\ln e)-(1-\ln 1)=e-1-1=e-2.$$

Ответ: $$e-2$$.