Упр.49.21 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

а) Точки пересечения графиков $$y=e^x$$ и $$y=e^{-x}$$ найдём из уравнения

$$e^x=e^{-x} \Rightarrow x=-x \Rightarrow x=0.$$

На отрезке $$[0;1]$$ имеем $$e^x \ge e^{-x}$$, поэтому

$$S=\int_0^1 \left(e^x-e^{-x}\right)\,dx =\left(e^x+e^{-x}\right)\Big|_0^1 =(e+\tfrac1e)-(1+1) =\frac{(e-1)^2}{e}.$$

б) Точки пересечения графиков $$y=\dfrac1{e^x}$$ и $$y=1$$ найдём из уравнения

$$\frac1{e^x}=1 \Rightarrow e^x=1 \Rightarrow x=0.$$

На отрезке $$[-1;0]$$ имеем $$\dfrac1{e^x}\ge 1$$, значит

$$S=\int_{-1}^0 \left(\frac1{e^x}-1\right)\,dx =\int_{-1}^0 \left(e^{-x}-1\right)\,dx =\left(-e^{-x}-x\right)\Big|_{-1}^0 =e-2.$$

в) Прямая $$x+2y=2$$ задаётся формулой

$$y=1-\frac{x}{2}.$$

На отрезке $$[0;2]$$ верхняя граница — график $$y=e^x$$, нижняя — прямая $$y=1-\frac{x}{2}$$. Тогда

$$S=\int_0^2 \left(e^x-\left(1-\frac{x}{2}\right)\right)\,dx =\int_0^2 \left(e^x-1+\frac{x}{2}\right)\,dx$$

$$=\left(e^x-x+\frac{x^2}{4}\right)\Big|_0^2 =(e^2-2+1)-1 =e^2-2.$$

г) Графики $$y=e^x$$ и $$y=-e^x$$ симметричны относительно оси $$Ox$$. На отрезке $$[0;2]$$ площадь равна

$$S=\int_0^2 \left(e^x-(-e^x)\right)\,dx =\int_0^2 2e^x\,dx =2e^x\Big|_0^2 =2(e^2-1).$$

Ответ

а) $$\dfrac{(e-1)^2}{e}$$; б) $$e-2$$; в) $$e^2-2$$; г) $$2(e^2-1)$$.