Упр.49.20 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями: а) $$y=\sqrt{x}$$, $$y=-2\sqrt{x}$$, $$x=4$$; б) $$y=2\sqrt{x}$$, $$y=-\sqrt{x}$$, $$x=9$$.

а) Точки пересечения графиков найдём из уравнения

$$\sqrt{x}=-2\sqrt{x}$$

$$3\sqrt{x}=0,$$

откуда $$x=0.$$

На отрезке $$[0;4]$$ верхняя функция — $$y=\sqrt{x},$$ нижняя — $$y=-2\sqrt{x}.$$ Тогда площадь равна

$$S=\int\limits_0^4\bigl(\sqrt{x}-(-2\sqrt{x})\bigr)\,dx =\int\limits_0^4 3\sqrt{x}\,dx =3\int\limits_0^4 x^{1/2}\,dx.$$

$$S=3\cdot \frac{2}{3}x^{3/2}\Big|_0^4 =2x^{3/2}\Big|_0^4 =2\cdot 4^{3/2}-2\cdot 0^{3/2} =2\cdot 8=16.$$

б) Точки пересечения графиков найдём из уравнения

$$2\sqrt{x}=-\sqrt{x}$$

$$3\sqrt{x}=0,$$

откуда $$x=0.$$

На отрезке $$[0;9]$$ верхняя функция — $$y=2\sqrt{x},$$ нижняя — $$y=-\sqrt{x}.$$ Тогда

$$S=\int\limits_0^9\bigl(2\sqrt{x}-(-\sqrt{x})\bigr)\,dx =\int\limits_0^9 3\sqrt{x}\,dx =3\int\limits_0^9 x^{1/2}\,dx.$$

$$S=3\cdot \frac{2}{3}x^{3/2}\Big|_0^9 =2x^{3/2}\Big|_0^9 =2\cdot 9^{3/2}-2\cdot 0^{3/2} =2\cdot 27=54.$$

Ответ: а) $$16$$; б) $$54$$.