Упр.49.19 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

Найдите площадь фигуры, изображённой на: а) рис. 70; б) рис. 71; в) рис. 72; г) рис. 73.

а) Фигура ограничена линиями $$y=x^3,\ y=8,\ x=0,\ x=2.$$

На отрезке $$[0;2]$$ имеем $$x^3\le 8,$$ поэтому

$$S=\int_0^2(8-x^3)\,dx=\left(8x-\frac{x^4}{4}\right)\Bigg|_0^2=16-4=12.$$

б) Фигура ограничена линиями $$y=\sin x,\ y=1,\ x=0,\ x=\frac{\pi}{2}.$$

На отрезке $$\left[0;\frac{\pi}{2}\right]$$ имеем $$\sin x\le 1,$$ поэтому

$$S=\int_0^{\pi/2}(1-\sin x)\,dx=\left(x+\cos x\right)\Bigg|_0^{\pi/2}=\frac{\pi}{2}-1.$$

в) Фигура ограничена линиями $$y=x^2,\ y=4,\ x=-2,\ x=2.$$

На отрезке $$[-2;2]$$ имеем $$x^2\le 4,$$ поэтому

$$S=\int_{-2}^{2}(4-x^2)\,dx=\left(4x-\frac{x^3}{3}\right)\Bigg|_{-2}^{2}=\frac{32}{3}=\frac{32}{3}.$$

То есть

$$S=10\frac{2}{3}.$$

г) Фигура ограничена линиями $$y=\sin x,\ y=0,\ x=0,\ x=\pi.$$

Тогда

$$S=\int_0^\pi \sin x\,dx=-\cos x\Bigg|_0^\pi=-\cos\pi+\cos 0=1+1=2.$$

Ответ

а) $$12$$; б) $$\frac{\pi}{2}-1$$; в) $$10\frac{2}{3}$$; г) $$2$$.