Упр.49.16 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

а) Найдём точки пересечения границ фигуры: $$y=\sqrt{x}$$ и $$y=0$$ пересекаются при $$x=0$$, а с прямой $$x=4$$ получаем верхнюю границу по оси $$x$$. Тогда площадь равна

$$S=\int_0^4 \sqrt{x}\,dx=\int_0^4 x^{1/2}\,dx=\left.\frac{2}{3}x^{3/2}\right|_0^4=\frac{2}{3}\cdot 8=\frac{16}{3}=5\frac{1}{3}.$$

Ответ: $$5\frac{1}{3}$$

б) Фигура ограничена линиями $$y=\frac{1}{x^2}$$, $$y=0$$, $$x=1$$, $$x=3$$. На отрезке $$[1;3]$$ функция положительна, поэтому

$$S=\int_1^3 \frac{1}{x^2}\,dx=\int_1^3 x^{-2}\,dx=\left.-x^{-1}\right|_1^3=-\frac{1}{3}+1=\frac{2}{3}.$$

Ответ: $$\frac{2}{3}$$

в) Точки пересечения $$y=\sqrt[3]{x}$$ и $$y=1$$: $$\sqrt[3]{x}=1$$, значит $$x=1$$. На отрезке $$[0;1]$$ имеем $$\sqrt[3]{x}\le 1$$, поэтому

$$S=\int_0^1 \left(1-\sqrt[3]{x}\right)\,dx=\int_0^1 \left(1-x^{1/3}\right)\,dx=\left.x-\frac{3}{4}x^{4/3}\right|_0^1=1-\frac{3}{4}=\frac{1}{4}.$$

Ответ: $$\frac{1}{4}$$

г) Точки пересечения $$y=\sqrt{x}$$ и $$y=2$$: $$\sqrt{x}=2$$, значит $$x=4$$. Тогда

$$S=\int_0^4 \left(2-\sqrt{x}\right)\,dx=\int_0^4 2\,dx-\int_0^4 \sqrt{x}\,dx=8-\frac{16}{3}=\frac{8}{3}=2\frac{2}{3}.$$

Ответ: $$2\frac{2}{3}$$