Упр.49.15 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

а) На отрезке $$\left[-\frac{\pi}{2};\frac{\pi}{2}\right]$$ функция $$y=1+\frac12\cos x$$ неотрицательна, так как $$\cos x\ge 0$$ на этом промежутке.

Тогда площадь фигуры равна

$$S=\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}\left(1+\frac12\cos x\right)\,dx =\left(x+\frac12\sin x\right)\Bigg|_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}.$$

Вычислим:

$$S=\left(\frac{\pi}{2}+\frac12\sin\frac{\pi}{2}\right)-\left(-\frac{\pi}{2}+\frac12\sin\left(-\frac{\pi}{2}\right)\right) =\frac{\pi}{2}+\frac12+\frac{\pi}{2}+\frac12=\pi+1.$$

б) На отрезке $$[0;\pi]$$ функция $$y=1-\sin 2x$$ неотрицательна, поэтому

$$S=\int_{0}^{\pi}(1-\sin 2x)\,dx =\left(x+\frac12\cos 2x\right)\Bigg|_{0}^{\pi}.$$

Тогда

$$S=\left(\pi+\frac12\cos 2\pi\right)-\left(0+\frac12\cos 0\right) =\pi+\frac12-\frac12=\pi.$$

Ответ

а) $$\pi+1$$; б) $$\pi$$.