Упр.49.14 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

а) На отрезке $$\left[0;\frac{\pi}{2}\right]$$ функция $$y=\sin x$$ неотрицательна, поэтому площадь равна определённому интегралу:

$$S=\int\limits_{0}^{\pi/2}\sin x\,dx=-\cos x\Big|_{0}^{\pi/2}=-\cos\frac{\pi}{2}+\cos 0=1.$$

Ответ: $$1$$.

б) На отрезке $$\left[-\frac{\pi}{6};\frac{\pi}{6}\right]$$ функция $$y=\cos 2x$$ неотрицательна, значит

$$S=\int\limits_{-\pi/6}^{\pi/6}\cos 2x\,dx=\frac12\sin 2x\Big|_{-\pi/6}^{\pi/6} =\frac12\left(\sin\frac{\pi}{3}-\sin\left(-\frac{\pi}{3}\right)\right).$$

$$S=\frac12\cdot 2\sin\frac{\pi}{3}=\sin\frac{\pi}{3}=\frac{\sqrt3}{2}.$$

Ответ: $$\frac{\sqrt3}{2}$$.

в) На отрезке $$\left[-\frac{\pi}{4};\frac{\pi}{4}\right]$$ функция $$y=\cos x$$ неотрицательна, поэтому

$$S=\int\limits_{-\pi/4}^{\pi/4}\cos x\,dx=\sin x\Big|_{-\pi/4}^{\pi/4} =\sin\frac{\pi}{4}-\sin\left(-\frac{\pi}{4}\right).$$

$$S=\frac{\sqrt2}{2}+\frac{\sqrt2}{2}=\sqrt2.$$

Ответ: $$\sqrt2$$.

г) На отрезке $$\left[\frac{\pi}{2};\pi\right]$$ функция $$y=\sin\frac{x}{2}$$ неотрицательна, значит

$$S=\int\limits_{\pi/2}^{\pi}\sin\frac{x}{2}\,dx=-2\cos\frac{x}{2}\Big|_{\pi/2}^{\pi} =-2\left(\cos\frac{\pi}{2}-\cos\frac{\pi}{4}\right).$$

$$S=-2\left(0-\frac{\sqrt2}{2}\right)=\sqrt2.$$

Ответ: $$\sqrt2$$.