Упр.49.12 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

Найдём площадь фигуры как определённый интеграл по промежутку, на котором график расположен выше оси $$Ox$$.

а)

Фигура ограничена линиями $$y=x^3+2$$, $$y=0$$, $$x=0$$ и $$x=2$$. На отрезке $$[0;2]$$ функция $$x^3+2$$ неотрицательна, значит

$$S=\int_0^2 (x^3+2)\,dx.$$

Вычислим:

$$S=\left(\frac{x^4}{4}+2x\right)\Bigg|_0^2 =\left(\frac{2^4}{4}+2\cdot 2\right)-0 =4+4=8.$$

б)

Фигура ограничена линиями $$y=-x^2+4x$$ и $$y=0$$. Найдём точки пересечения с осью $$Ox$$:

$$-x^2+4x=0,$$

$$-x(x-4)=0,$$

откуда $$x_1=0$$, $$x_2=4$$.

На отрезке $$[0;4]$$ функция $$-x^2+4x$$ неотрицательна, поэтому

$$S=\int_0^4 (-x^2+4x)\,dx.$$

Вычислим:

$$S=\left(-\frac{x^3}{3}+2x^2\right)\Bigg|_0^4 =-\frac{4^3}{3}+2\cdot 4^2 =-\frac{64}{3}+32 =\frac{32}{3}.$$

Ответ: а) $$8$$; б) $$\frac{32}{3}=10\frac{2}{3}$$.