Упр.49.11 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

1. Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями: а) $$y=x^2$$, $$y=0$$, $$x=4$$; б) $$y=x^3$$, $$y=0$$, $$x=-3$$, $$x=1$$; в) $$y=x^2$$, $$y=0$$, $$x=-3$$; г) $$y=x^4$$, $$y=0$$, $$x=-1$$, $$x=2$$.

а) На отрезке $$[0;4]$$ функция $$y=x^2$$ неотрицательна, поэтому

$$S=\int_0^4 x^2\,dx=\left.\frac{x^3}{3}\right|_0^4=\frac{64}{3}=21\frac{1}{3}.$$

б) Функция $$y=x^3$$ меняет знак в точке $$x=0$$, значит площадь равна сумме площадей на отрезках $$[-3;0]$$ и $$[0;1]$$:

$$S=-\int_{-3}^0 x^3\,dx+\int_0^1 x^3\,dx$$

$$=\left.-\frac{x^4}{4}\right|_{-3}^0+\left.\frac{x^4}{4}\right|_0^1=\frac{81}{4}+\frac{1}{4}=\frac{82}{4}=20{,}5.$$

в) На отрезке $$[-3;0]$$ функция $$y=x^2$$ неотрицательна, поэтому

$$S=\int_{-3}^0 x^2\,dx=\left.\frac{x^3}{3}\right|_{-3}^0=0-\left(-\frac{27}{3}\right)=9.$$

г) На отрезке $$[-1;2]$$ функция $$y=x^4$$ неотрицательна, значит

$$S=\int_{-1}^2 x^4\,dx=\left.\frac{x^5}{5}\right|_{-1}^2=\frac{32}{5}-\left(-\frac{1}{5}\right)=\frac{33}{5}=6{,}6.$$

Ответ

а) $$21\frac{1}{3}$$; б) $$20{,}5$$; в) $$9$$; г) $$6{,}6$$.