Упр.49.10 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

1. Вычислите интеграл $$\int_{-2}^{3} f(x)\,dx$$, если график функции $$y=f(x)$$ изображён на: а) рис. 68; б) рис. 69.

а) По графику видно, что

$$f(x)=\begin{cases}2-x, & x\le 1,\\ 1, & x>1.\end{cases}$$

Тогда

$$\int_{-2}^{3} f(x)\,dx=\int_{-2}^{1}(2-x)\,dx+\int_{1}^{3}1\,dx.$$

Вычислим по геометрическому смыслу: на отрезке $$[-2;1]$$ получаем трапецию с основаниями $$4$$ и $$1$$ и высотой $$3$$, а на отрезке $$[1;3]$$ — прямоугольник со сторонами $$2$$ и $$1$$.

$$S=\frac{4+1}{2}\cdot 3+2\cdot 1=7{,}5+2=9{,}5.$$

Ответ: $$9{,}5$$.

б) По графику видно, что

$$f(x)=\begin{cases}1-x, & x\le 1,\\ 1+x, & x>1.\end{cases}$$

Тогда

$$\int_{-2}^{3} f(x)\,dx=\int_{-2}^{1}(1-x)\,dx+\int_{1}^{3}(1+x)\,dx.$$

На отрезке $$[-2;1]$$ это трапеция с основаниями $$3$$ и $$0$$ и высотой $$3$$, а на отрезке $$[1;3]$$ — трапеция с основаниями $$0$$ и $$3$$ и высотой $$2$$.

$$S=\frac{3+0}{2}\cdot 3+\frac{0+3}{2}\cdot 2=\frac{9}{2}+3=6{,}5.$$

Ответ: $$6{,}5$$.