Упр.49.1 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)
Вычислите определённый интеграл:
- а) $$\int_{-\frac{2}{3}}^{1} x^3\,dx$$;
- б) $$\int_{1}^{3} \frac{dx}{x^2}$$;
- в) $$\int_{-1}^{2} x^4\,dx$$;
- г) $$\int_{4}^{9} \frac{dx}{\sqrt{x}}$$.
Воспользуемся формулой Ньютона–Лейбница:
$$\int_a^b f(x)\,dx=F(x)\bigg|_a^b,$$
где $$F'(x)=f(x).$$
а)
$$\int_{-\frac{2}{3}}^{1} x^3\,dx=\left.\frac{x^4}{4}\right|_{-\frac{2}{3}}^{1}=\frac{1^4}{4}-\frac{\left(-\frac{2}{3}\right)^4}{4}=\frac{1}{4}-\frac{16}{324}=\frac{81-16}{324}=\frac{65}{324}.$$
б)
$$\int_{1}^{3}\frac{dx}{x^2}=\int_{1}^{3}x^{-2}\,dx=\left.-x^{-1}\right|_{1}^{3}=-\frac{1}{3}-\left(-1\right)=\frac{2}{3}.$$
в)
$$\int_{-1}^{2}x^4\,dx=\left.\frac{x^5}{5}\right|_{-1}^{2}=\frac{2^5}{5}-\frac{(-1)^5}{5}=\frac{32+1}{5}=\frac{33}{5}.$$
г)
$$\int_{4}^{9}\frac{dx}{\sqrt{x}}=\int_{4}^{9}x^{-\frac12}\,dx=\left.2\sqrt{x}\right|_{4}^{9}=2(\sqrt{9}-\sqrt{4})=2(3-2)=2.$$
Ответ: а) $$\frac{65}{324}$$; б) $$\frac{2}{3}$$; в) $$\frac{33}{5}$$; г) $$2$$.
