Упр.48.7 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

1. $$f(x)=e^x+\frac{1}{x}$$
2. $$f(x)=\frac{3}{x}+\frac{4}{x^2}-\frac{5}{\sin^2 x}$$
3. $$f(x)=\frac{x^2}{3}-x^{-\frac{1}{3}}$$
4. $$f(x)=\sqrt[5]{x}-2e^x$$

Найдём по одной первообразной для каждой функции, используя правило

$$\int x^n\,dx=\frac{x^{n+1}}{n+1}+C \quad (n\ne -1), \qquad \int \frac{dx}{x}=\ln|x|+C.$$

а)

$$f(x)=e^x+\frac{1}{x}$$

Тогда

$$F(x)=e^x+\ln|x|+C.$$

б)

$$f(x)=\frac{3}{x}+\frac{4}{x^2}-\frac{5}{\sin^2 x}$$

Перепишем:

$$f(x)=3x^{-1}+4x^{-2}-5\csc^2 x.$$

Тогда

$$F(x)=3\ln|x|-\frac{4}{x}+5\ctg x+C.$$

в)

$$f(x)=x^{2/3}-x^{-1/3}$$

Интегрируем по частям:

$$F(x)=\frac{x^{5/3}}{5/3}-\frac{x^{2/3}}{2/3}+C=\frac{3x^{5/3}}{5}-\frac{3x^{2/3}}{2}+C.$$

г)

$$f(x)=\sqrt[5]{x}-2e^x=x^{1/5}-2e^x$$

Тогда

$$F(x)=\frac{x^{6/5}}{6/5}-2e^x+C=\frac{5x^{6/5}}{6}-2e^x+C=\frac{5\sqrt[5]{x^6}}{6}-2e^x+C.$$

Ответ

а) $$F(x)=e^x+\ln|x|+C$$

б) $$F(x)=3\ln|x|-\frac{4}{x}+5\ctg x+C$$

в) $$F(x)=\frac{3x^{5/3}}{5}-\frac{3x^{2/3}}{2}+C$$

г) $$F(x)=\frac{5x^{6/5}}{6}-2e^x+C$$