Упр.48.21 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

1. Известно, что функция $$y=F(x)$$ является первообразной для функции $$y=f(x)$$. Найдите точки экстремума функции $$y=F(x)$$, если:
   а) $$f(x)=\frac{x^2-5x+6}{\sqrt{x-1}}$$;
   б) $$f(x)=(25x-x^3)\ln x$$;
   в) $$f(x)=\frac{3x-6}{\sqrt[3]{2x+4}}$$;
   г) $$f(x)=\frac{x^3-9x}{\sqrt[4]{2-x}}$$.

Так как $$F'(x)=f(x),$$ точки экстремума функции $$F(x)$$ находятся по смене знака производной.

а)

$$f(x)=\frac{x^2-5x+6}{\sqrt{x-1}}=\frac{(x-2)(x-3)}{\sqrt{x-1}}.$$

Область определения: $$x>1.$$

Знаменатель при $$x>1$$ положителен, поэтому знак $$f(x)$$ определяется числителем $$(x-2)(x-3).$$

Получаем:

$$\begin{aligned} &f(x)>0 \quad \text{при} \quad 1<x<2 \text{ и } x>3,\\ &f(x)<0 \quad \text{при} \quad 2<x<3. \end{aligned}$$

Значит, в точке $$x=2$$ производная меняет знак с плюса на минус, а в точке $$x=3$$ — с минуса на плюс.

Ответ: $$x=2$$ — точка максимума, $$x=3$$ — точка минимума.

б)

$$f(x)=(25x-x^3)\ln x=x(25-x^2)\ln x=x(5-x)(5+x)\ln x.$$

Область определения: $$x>0.$$

На этой области $$x>0$$ и $$5+x>0,$$ поэтому знак $$f(x)$$ определяется выражением $$(5-x)\ln x.$$

Критические точки: $$x=1$$ и $$x=5.$$

$$\begin{aligned} &f(x)<0 \quad \text{при} \quad 0<x<1,\\ &f(x)>0 \quad \text{при} \quad 1<x<5,\\ &f(x)<0 \quad \text{при} \quad x>5. \end{aligned}$$

Следовательно, в точке $$x=1$$ — минимум, в точке $$x=5$$ — максимум.

Ответ: $$x=1$$ — точка минимума, $$x=5$$ — точка максимума.

в)

$$f(x)=\frac{3x-6}{\sqrt[3]{2x+4}}=\frac{3(x-2)}{\sqrt[3]{2(x+2)}}.$$

Область определения: $$x\neq -2.$$

Критическая точка из числителя: $$x=2.$$

Проверим знак производной на промежутках:

$$\begin{aligned} &f(x)>0 \quad \text{при} \quad x<-2,\\ &f(x)<0 \quad \text{при} \quad -2<x<2,\\ &f(x)>0 \quad \text{при} \quad x>2. \end{aligned}$$

Значит, в точке $$x=-2$$ производная не существует, но знак меняется с плюса на минус, поэтому это точка максимума; в точке $$x=2$$ знак меняется с минуса на плюс, значит это точка минимума.

Ответ: $$x=-2$$ — точка максимума, $$x=2$$ — точка минимума.

г)

$$f(x)=\frac{x^3-9x}{\sqrt[4]{2-x}}=\frac{x(x-3)(x+3)}{\sqrt[4]{2-x}}.$$

Область определения: $$x<2.$$

На этой области знаменатель положителен, поэтому знак $$f(x)$$ определяется числителем $$x(x-3)(x+3).$$

С учётом области определения остаются точки $$x=-3$$ и $$x=0.$$

$$\begin{aligned} &f(x)<0 \quad \text{при} \quad x<-3,\\ &f(x)>0 \quad \text{при} \quad -3<x<0,\\ &f(x)<0 \quad \text{при} \quad 0<x<2. \end{aligned}$$

Следовательно, в точке $$x=-3$$ — минимум, в точке $$x=0$$ — максимум.

Ответ: $$x=-3$$ — точка минимума, $$x=0$$ — точка максимума.