Упр.48.20 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

Найдите ту первообразную для заданной функции $$y=f(x)$$, график которой касается заданной прямой $$y=kx+m$$:

а) $$f(x)=2x$$, $$y=x+2$$;

б) $$f(x)=3x^3$$, $$y=3x+4{,}75$$.

Пусть искомая первообразная имеет вид $$F(x).$$ Тогда $$F'(x)=f(x).$$

а)

$$f(x)=2x.$$

Находим первообразную:

$$F(x)=\int 2x\,dx=x^2+C.$$

График $$y=x^2+C$$ касается прямой $$y=x+2,$$ значит, уравнение имеет единственный корень:

$$x^2+C=x+2.$$

Перенесём всё в одну сторону:

$$x^2-x+(C-2)=0.$$

Для касания дискриминант равен нулю:

$$D=(-1)^2-4(C-2)=0,$$

$$1-4C+8=0,$$

$$4C=9,$$

$$C=\frac{9}{4}.$$

Следовательно,

$$F(x)=x^2+\frac{9}{4}.$$

б)

$$f(x)=3x^3.$$

Находим первообразную:

$$F(x)=\int 3x^3\,dx=\frac{3}{4}x^4+C.$$

Так как график $$F(x)$$ касается прямой $$y=3x+4{,}75,$$ в точке касания их угловые коэффициенты равны:

$$F'(x)=3x^3=3.$$

Отсюда

$$x^3=1,\qquad x=1.$$

Подставим $$x=1$$ в уравнение касательной:

$$\frac{3}{4}\cdot 1^4+C=3\cdot 1+4{,}75,$$

$$\frac{3}{4}+C=7{,}75,$$

$$C=7.$$

Значит,

$$F(x)=\frac{3}{4}x^4+7.$$

Ответ

а) $$F(x)=x^2+\frac{9}{4}$$; б) $$F(x)=\frac{3}{4}x^4+7$$.