Упр.48.19 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

1. Некоторая первообразная функции $$y=3\cos 3x+6\sin 6x$$ принимает в точке $$x=\frac{\pi}{2}$$ значение 6. Какое значение принимает та же первообразная в точке $$x=\frac{\pi}{6}$$?

Найдём первообразную функции $$y=3\cos 3x+6\sin 6x.$$

$$F(x)=\int \left(3\cos 3x+6\sin 6x\right)\,dx=\sin 3x-\cos 6x+C.$$

Используем условие $$F\left(\frac{\pi}{2}\right)=6.$$ Тогда

$$6=\sin\left(3\cdot \frac{\pi}{2}\right)-\cos\left(6\cdot \frac{\pi}{2}\right)+C=-1-(-1)+C=C,$$

значит, $$C=6.$$

Тогда

$$F(x)=\sin 3x-\cos 6x+6.$$

Найдём значение в точке $$x=\frac{\pi}{6}:$$

$$F\left(\frac{\pi}{6}\right)=\sin\left(3\cdot \frac{\pi}{6}\right)-\cos\left(6\cdot \frac{\pi}{6}\right)+6=\sin\frac{\pi}{2}-\cos\pi+6=1-(-1)+6=8.$$

Ответ: $$8$$.