Упр.48.18 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

Найдите ту первообразную для заданной функции $$y=f(x)$$, график которой касается оси $$x$$: а) $$f(x)=2x+3$$; б) $$f(x)=12(3x-1)^3$$.

а) Найдём первообразную:

$$F(x)=\int (2x+3)\,dx=x^2+3x+C.$$

Чтобы график касался оси $$x$$, уравнение $$F(x)=0$$ должно иметь единственный корень, то есть дискриминант равен нулю:

$$D=3^2-4C=9-4C=0.$$

Отсюда

$$C=\frac{9}{4}.$$

Тогда

$$F(x)=x^2+3x+\frac{9}{4}.$$

б) Найдём первообразную:

$$F(x)=\int 12(3x-1)^3\,dx=(3x-1)^4+C.$$

Чтобы график касался оси $$x$$, нужно, чтобы уравнение $$F(x)=0$$ имело единственный корень. Так как $$(3x-1)^4 \ge 0$$ при всех $$x$$, это возможно только при

$$C=0.$$

Следовательно,

$$F(x)=(3x-1)^4.$$

Ответ: а) $$F(x)=x^2+3x+\frac{9}{4}$$; б) $$F(x)=(3x-1)^4$$.