Упр.48.17 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

1. Для функции $$y=g(x)$$ найдите ту первообразную, график которой проходит через заданную точку $$M$$:
   а) $$g(x)=8\sin\frac{x}{2}\cos\frac{x}{2},\quad M\left(\frac{\pi}{2};3\right)$$;
   б) $$g(x)=2\cos^2\frac{x}{2}-1,\quad M\left(\frac{\pi}{2};16\right)$$;
   в) $$g(x)=\cos^2\frac{x}{2}-\sin^2\frac{x}{2},\quad M(0;7)$$;
   г) $$g(x)=1-2\sin^2\frac{x}{2},\quad M\left(\frac{\pi}{2};15\right)$$.

а) $$g(x)=8\sin \frac{x}{2}\cos \frac{x}{2}=4\sin x.$$

Тогда первообразная имеет вид

$$F(x)=\int 4\sin x\,dx=-4\cos x+C.$$

Так как график проходит через точку $$M\left(\frac{\pi}{2};3\right),$$ то

$$3=-4\cos \frac{\pi}{2}+C=0+C,$$

откуда $$C=3.$$

Следовательно,

$$F(x)=-4\cos x+3.$$

б) $$g(x)=2\cos^2 \frac{x}{2}-1=\cos x.$$

Тогда

$$F(x)=\int \cos x\,dx=\sin x+C.$$

Из условия $$M\left(\frac{\pi}{2};16\right):$$

$$16=\sin \frac{\pi}{2}+C=1+C,$$

значит, $$C=15.$$

Следовательно,

$$F(x)=\sin x+15.$$

в) $$g(x)=\cos^2 \frac{x}{2}-\sin^2 \frac{x}{2}=\cos x.$$

Тогда

$$F(x)=\int \cos x\,dx=\sin x+C.$$

Так как график проходит через точку $$M(0;7),$$ получаем

$$7=\sin 0+C=0+C,$$

откуда $$C=7.$$

Следовательно,

$$F(x)=\sin x+7.$$

г) $$g(x)=1-2\sin^2 \frac{x}{2}=\cos x.$$

Тогда

$$F(x)=\int \cos x\,dx=\sin x+C.$$

Из условия $$M\left(\frac{\pi}{2};15\right):$$

$$15=\sin \frac{\pi}{2}+C=1+C,$$

значит, $$C=14.$$

Следовательно,

$$F(x)=\sin x+14.$$

Ответ: а) $$-4\cos x+3$$; б) $$\sin x+15$$; в) $$\sin x+7$$; г) $$\sin x+14$$.