Упр.48.16 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

1. Ускорение движения точки на координатной прямой задано формулой $$a(t)=2(t+1)^2$$, где $$t$$ — время движения. Найдите закон изменения скорости $$v=v(t)$$ и закон движения $$s=s(t)$$, если $$v(0)=1$$, $$s(0)=1$$.

Так как ускорение — это производная скорости, а скорость — производная пути, то найдём сначала первообразную для $$a(t)=2(t+1)^2.$$

$$v(t)=\int 2(t+1)^2\,dt=\frac{2}{3}(t+1)^3+C.$$

Используем условие $$v(0)=1$$:

$$1=\frac{2}{3}(0+1)^3+C=\frac{2}{3}+C,$$

откуда

$$C=\frac{1}{3}.$$

Значит,

$$v(t)=\frac{2}{3}(t+1)^3+\frac{1}{3}.$$

Теперь найдём закон движения:

$$s(t)=\int \left(\frac{2}{3}(t+1)^3+\frac{1}{3}\right)dt =\frac{(t+1)^4}{6}+\frac{t}{3}+C.$$

Используем условие $$s(0)=1$$:

$$1=\frac{(0+1)^4}{6}+\frac{0}{3}+C=\frac{1}{6}+C,$$

откуда

$$C=\frac{5}{6}.$$

Следовательно,

$$s(t)=\frac{(t+1)^4}{6}+\frac{t}{3}+\frac{5}{6}.$$

Ответ

$$v(t)=\frac{2}{3}(t+1)^3+\frac{1}{3},\qquad s(t)=\frac{(t+1)^4}{6}+\frac{t}{3}+\frac{5}{6}.$$