Упр.48.12 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

1. Для данной функции найдите ту первообразную, график которой проходит через заданную точку M: а) $$y=\sin x$$, $$M\left(\frac{\pi}{3};\frac{1}{4}\right)$$; б) $$y=\frac{1}{\cos^2 x}$$, $$M\left(\frac{\pi}{4};-1\right)$$; в) $$y=\cos x$$, $$M\left(\frac{\pi}{6};1\right)$$; г) $$y=1/\sin^2 x/3$$, $$M\left(\frac{3\pi}{4};0\right)$$.

а) Первообразная для функции $$y=\sin x$$ имеет вид $$F(x)=-\cos x+C.$$

Подставим точку $$M\left(\frac{\pi}{3};\frac14\right):$$

$$\frac14=-\cos\frac{\pi}{3}+C=-\frac12+C,$$

$$C=\frac14+\frac12=\frac34.$$

Следовательно,

$$F(x)=-\cos x+\frac34.$$

б) Для функции $$y=\frac{1}{\cos^2 x}$$ первообразная имеет вид $$F(x)=\tg x+C.$$

Подставим точку $$M\left(\frac{\pi}{4};-1\right):$$

$$-1=\tg\frac{\pi}{4}+C=1+C,$$

$$C=-2.$$

Значит,

$$F(x)=\tg x-2.$$

в) Для функции $$y=\cos x$$ первообразная имеет вид $$F(x)=\sin x+C.$$

Подставим точку $$M\left(\frac{\pi}{6};1\right):$$

$$1=\sin\frac{\pi}{6}+C=\frac12+C,$$

$$C=\frac12.$$

Следовательно,

$$F(x)=\sin x+\frac12.$$

г) Для функции $$y=\frac{1}{\sin^2\frac{x}{3}}$$ первообразная имеет вид

$$F(x)=-3\ctg\frac{x}{3}+C.$$

Подставим точку $$M\left(\frac{3\pi}{4};0\right):$$

$$0=-3\ctg\frac{1}{3}\cdot\frac{3\pi}{4}+C=-3\ctg\frac{\pi}{4}+C=-3+C,$$

$$C=3.$$

Итак,

$$F(x)=-3\ctg\frac{x}{3}+3.$$

Ответ

а) $$F(x)=-\cos x+\frac34$$; б) $$F(x)=\tg x-2$$; в) $$F(x)=\sin x+\frac12$$; г) $$F(x)=-3\ctg\frac{x}{3}+3$$.