Упр.47.9 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

1. Решите неравенство $$g'(x) а) $$g(x)=6-\frac{1}{2}e^{2x-3}$$, $$a=\frac{1}{e^3}$$;
   б) $$g(x)=x+e^{4x-3}$$, $$a=5$$;
   в) $$g(x)=\frac{1}{3}e^{3x+5}$$, $$a=\frac{1}{e}$$;
   г) $$g(x)=e^{9x+21}-x$$, $$a=8$$.

а) $$g(x)=6-\frac12 e^{2x-3}, \quad a=\frac1{e^3}.$$

Найдём производную:

$$g'(x)=\left(6-\frac12 e^{2x-3}\right)’=0-\frac12 \cdot 2e^{2x-3}=-e^{2x-3}.$$

Решаем неравенство:

$$-e^{2x-3}<\frac1{e^3}.$$

Левая часть всегда отрицательна, а правая положительна, значит неравенство верно при любых $$x$$.

Ответ: $$x\in(-\infty;+\infty).$$

б) $$g(x)=x+e^{4x-3}, \quad a=5.$$

Найдём производную:

$$g'(x)=(x+e^{4x-3})’=1+4e^{4x-3}.$$

Решаем неравенство:

$$1+4e^{4x-3}<5,$$

$$4e^{4x-3}<4,$$

$$e^{4x-3}<1=e^0,$$

$$4x-3<0,$$

$$x<\frac34.$$

Ответ: $$x\in\left(-\infty;\frac34\right).$$

в) $$g(x)=\frac13 e^{3x+5}, \quad a=\frac1e.$$

Найдём производную:

$$g'(x)=\left(\frac13 e^{3x+5}\right)’=\frac13\cdot 3e^{3x+5}=e^{3x+5}.$$

Решаем неравенство:

$$e^{3x+5}<\frac1e=e^{-1},$$

$$e^{3x+5}

$$3x+5<-1,$$

$$3x<-6,$$

$$x<-2.$$

Ответ: $$x\in(-\infty;-2).$$

г) $$g(x)=e^{9x+21}-x, \quad a=8.$$

Найдём производную:

$$g'(x)=(e^{9x+21}-x)’=9e^{9x+21}-1.$$

Решаем неравенство:

$$9e^{9x+21}-1<8,$$

$$9e^{9x+21}<9,$$

$$e^{9x+21}<1=e^0,$$

$$9x+21<0,$$

$$9x<-21,$$

$$x<-\frac73.$$

Ответ: $$x\in\left(-\infty;-\frac73\right).$$