Упр.47.7 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

Задача

Найдите угол, образованный касательной к графику функции $$y=h(x)$$ с положительным направлением оси абсцисс в точке с абсциссой $$x_0$$:
а) $$h(x)=\frac{1}{5}e^{5x-1},\quad x_0=0{,}2$$;
б) $$h(x)=e^{-x-\sqrt{3}},\quad x_0=-\sqrt{3}$$;
в) $$h(x)=\frac{1}{3}e^{1-3x},\quad x_0=\frac{1}{3}$$;
г) $$h(x)=e^{\frac{\sqrt{3}}{3}x-1},\quad x_0=\sqrt{3}$$.

Подробный ответ

Найдём производную функции и вычислим её значение в точке $$x_0$$. Угол наклона касательной к положительному направлению оси абсцисс определяется по формуле $$\tan \alpha = h'(x_0).$$

$$h(x)=\frac{1}{5}e^{5x-1}, \quad x_0=0{,}2.$$
$$h'(x)=\frac{1}{5}\cdot 5e^{5x-1}=e^{5x-1}.$$
$$h'(0{,}2)=e^{5\cdot 0{,}2-1}=e^0=1.$$
Тогда $$\tan \alpha = 1,$$ значит $$\alpha=\arctg 1=\frac{\pi}{4}.$$
$$h(x)=e^{-x-\sqrt{3}}, \quad x_0=-\sqrt{3}.$$
$$h'(x)=-e^{-x-\sqrt{3}}.$$
$$h'(-\sqrt{3})=-e^{-(-\sqrt{3})-\sqrt{3}}=-e^0=-1.$$
Тогда $$\tan \alpha = -1,$$ значит $$\alpha=\frac{3\pi}{4}.$$
$$h(x)=\frac{1}{3}e^{1-3x}, \quad x_0=\frac{1}{3}.$$
$$h'(x)=\frac{1}{3}\cdot(-3)e^{1-3x}=-e^{1-3x}.$$
$$h’\!\left(\frac{1}{3}\right)=-e^{1-3\cdot \frac{1}{3}}=-e^0=-1.$$
Следовательно, $$\alpha=\frac{3\pi}{4}.$$
$$h(x)=e^{\frac{\sqrt{3}}{3}x-1}, \quad x_0=\sqrt{3}.$$
$$h'(x)=\frac{\sqrt{3}}{3}e^{\frac{\sqrt{3}}{3}x-1}.$$
$$h'(\sqrt{3})=\frac{\sqrt{3}}{3}e^{\frac{\sqrt{3}}{3}\cdot \sqrt{3}-1}=\frac{\sqrt{3}}{3}e^0=\frac{\sqrt{3}}{3}.$$
Тогда $$\tan \alpha = \frac{\sqrt{3}}{3},$$ значит $$\alpha=\arctg \frac{\sqrt{3}}{3}=\frac{\pi}{6}.$$