Упр.47.5 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

1. Найдите угловой коэффициент касательной к графику функции $$y=f(x)$$ в точке с абсциссой $$x_0$$:
   а) $$f(x)=\sqrt[3]{x}\cdot e^x,\quad x_0=1$$;
   б) $$f(x)=\frac{\sqrt{x}}{e^x},\quad x_0=1$$;
   в) $$f(x)=4e^x+3,\quad x_0=-2$$;
   г) $$f(x)=0{,}1e^x-10x,\quad x_0=0$$.

Найдём угловой коэффициент касательной, то есть значение производной в точке $$x_0$$.

1. $$f(x)=\sqrt[3]{x}\cdot e^x,\quad x_0=1.$$

   $$f'(x)=\left(\sqrt[3]{x}\right)’e^x+\sqrt[3]{x}\cdot (e^x)’=\frac{1}{3}x^{-2/3}e^x+\sqrt[3]{x}\,e^x.$$

   $$f'(x)=\frac{e^x}{3\sqrt[3]{x^2}}+\frac{3x e^x}{3\sqrt[3]{x^2}}=\frac{e^x(1+3x)}{3\sqrt[3]{x^2}}.$$

   $$f'(1)=\frac{e(1+3)}{3\cdot 1}=\frac{4e}{3}.$$

2. $$f(x)=\frac{\sqrt{x}}{e^x},\quad x_0=1.$$

   $$f'(x)=\left(\frac{\sqrt{x}}{e^x}\right)’=\frac{\left(\sqrt{x}\right)’e^x-\sqrt{x}\cdot (e^x)’}{(e^x)^2}.$$

   $$f'(x)=\frac{\frac{1}{2\sqrt{x}}e^x-\sqrt{x}\,e^x}{e^{2x}}=\frac{1-2x}{2e^x\sqrt{x}}.$$

   $$f'(1)=\frac{1-2\cdot 1}{2e\cdot 1}=-\frac{1}{2e}.$$

3. $$f(x)=4e^x+3,\quad x_0=-2.$$

   $$f'(x)=(4e^x+3)’=4e^x.$$

   $$f'(-2)=4e^{-2}=\frac{4}{e^2}.$$

4. $$f(x)=0{,}1e^x-10x,\quad x_0=0.$$

   $$f'(x)=(0{,}1e^x-10x)’=0{,}1e^x-10.$$

   $$f'(0)=0{,}1e^0-10=0{,}1-10=-9{,}9.$$

Ответ: а) $$\frac{4e}{3}$$; б) $$-\frac{1}{2e}$$; в) $$\frac{4}{e^2}$$; г) $$-9{,}9$$.