Упр.47.28 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)
- При каких значениях параметра $$a$$ функция $$y=x^6e^{-x}$$ на интервале $$(a;a+7)$$: а) имеет одну точку экстремума; б) имеет две точки экстремума; в) убывает; г) возрастает?
Найдём производную функции $$y=x^6e^{-x}$$:
$$y’=(x^6)’e^{-x}+x^6(e^{-x})’= 6x^5e^{-x}-x^6e^{-x}=x^5e^{-x}(6-x).$$
Так как $$e^{-x}>0$$ при любых $$x$$, знак производной определяется выражением $$x^5(6-x)$$. Критические точки: $$x=0$$ и $$x=6$$.
а) Функция имеет одну точку экстремума
На интервале $$\left(a;a+7\right)$$ должна попасть ровно одна из точек $$0$$ и $$6$$.
1) Пусть в интервал попадает только $$0$$:
$$a<0,\qquad a+7\ge 0,\qquad a+7<6.$$
Отсюда
$$-7\le a<-1.$$
2) Пусть в интервал попадает только $$6$$:
$$a>0,\qquad a<6,\qquad a+7>6.$$
Отсюда
$$0<a\le 6.$$
Значит,
$$a\in[-7;-1)\cup(0;6].$$
б) Функция имеет две точки экстремума
Нужно, чтобы в интервал $$\left(a;a+7\right)$$ попали обе точки $$0$$ и $$6$$:
$$a<0,\qquad a+7>6.$$
Тогда
$$-1<a<0.$$
в) Функция убывает
Функция убывает на промежутках $$(-\infty;0]$$ и $$[6;+\infty)$$. Поэтому весь интервал $$\left(a;a+7\right)$$ должен лежать целиком в одном из них.
1) $$\left(a;a+7\right)\subset(-\infty;0]$$, тогда
$$a+7\le 0 \;\Rightarrow\; a\le -7.$$
2) $$\left(a;a+7\right)\subset[6;+\infty)$$, тогда
$$a\ge 6.$$
Следовательно,
$$a\in(-\infty;-7]\cup[6;+\infty).$$
г) Функция возрастает
Функция возрастает только на промежутке $$[0;6]$$. Чтобы весь интервал $$\left(a;a+7\right)$$ лежал внутри него, нужно:
$$a\ge 0,\qquad a+7\le 6.$$
Но из второго неравенства получаем $$a\le -1$$, что невозможно вместе с $$a\ge 0$$. Значит, таких значений параметра нет.
Ответ: а) $$a\in[-7;-1)\cup(0;6]$$; б) $$a\in(-1;0)$$; в) $$a\in(-\infty;-7]\cup[6;+\infty)$$; г) таких $$a$$ нет.
