Упр.47.27 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

1. При каком значении параметра $$a$$:
   а) прямая $$y=3x-4+a$$ является касательной к графику функции $$y=\ln(3x-4)$$;
   б) прямая $$y=2x+3+a$$ является касательной к графику функции $$y=\ln(2x+3)$$?

Для касательной к графику функции $$y=f(x)$$ в точке $$x_0$$ используем формулу

$$y=f(x_0)+f'(x_0)(x-x_0).$$

а)

$$f(x)=\ln(3x-4), \qquad y=3x-4+a.$$

Найдём производную:

$$f'(x)=\frac{3}{3x-4}.$$

Так как угловой коэффициент касательной равен $$3$$, получаем:

$$\frac{3}{3x_0-4}=3.$$

Отсюда

$$3x_0-4=1, \qquad 3x_0=5, \qquad x_0=\frac{5}{3}.$$

Найдём значение функции в точке касания:

$$f\!\left(\frac{5}{3}\right)=\ln\!\left(3\cdot\frac{5}{3}-4\right)=\ln 1=0.$$

Уравнение касательной:

$$y=0+3\left(x-\frac{5}{3}\right)=3x-5.$$

Сравниваем с заданной прямой:

$$3x-4+a=3x-5.$$

Тогда

$$a=-1.$$

б)

$$f(x)=\ln(2x+3), \qquad y=2x+3+a.$$

Найдём производную:

$$f'(x)=\frac{2}{2x+3}.$$

Так как угловой коэффициент касательной равен $$2$$, имеем:

$$\frac{2}{2x_0+3}=2.$$

Отсюда

$$2x_0+3=1, \qquad 2x_0=-2, \qquad x_0=-1.$$

Найдём значение функции в точке касания:

$$f(-1)=\ln(2\cdot(-1)+3)=\ln 1=0.$$

Уравнение касательной:

$$y=0+2(x+1)=2x+2.$$

Сравниваем с заданной прямой:

$$2x+3+a=2x+2.$$

Тогда

$$a=-1.$$

Ответ: а) $$-1$$; б) $$-1$$.