Упр.47.26 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

1. Проведите касательную к графику заданной функции так, чтобы она проходила через начало координат: а) $$y=e^x/2$$; б) $$y=\ln x$$; в) $$y=e^x/3$$; г) $$y=\ln x^3$$.

Пусть касательная к графику функции проходит через начало координат. Тогда для точки касания с абсциссой $$x_0$$ уравнение касательной имеет вид

$$y=f(x_0)+f'(x_0)(x-x_0),$$

а условие прохождения через начало координат даёт

$$0=f(x_0)-x_0f'(x_0).$$

а)

$$y=e^{x/2}$$

$$f(x)=e^{x/2}, \qquad f'(x)=\frac12 e^{x/2}.$$

Из условия:

$$e^{x_0/2}-x_0\cdot \frac12 e^{x_0/2}=0,$$

$$e^{x_0/2}\left(1-\frac{x_0}{2}\right)=0,$$

$$x_0=2.$$

Тогда

$$y=e^{1}+\frac12 e^{1}(x-2)=\frac e2\,x.$$

б)

$$y=\ln x$$

$$f(x)=\ln x, \qquad f'(x)=\frac1x.$$

Из условия:

$$\ln x_0-x_0\cdot \frac1{x_0}=0,$$

$$\ln x_0-1=0,$$

$$x_0=e.$$

Тогда

$$y=\ln e+\frac1e(x-e)=\frac1e\,x.$$

в)

$$y=e^{x/3}$$

$$f(x)=e^{x/3}, \qquad f'(x)=\frac13 e^{x/3}.$$

Из условия:

$$e^{x_0/3}-x_0\cdot \frac13 e^{x_0/3}=0,$$

$$e^{x_0/3}\left(1-\frac{x_0}{3}\right)=0,$$

$$x_0=3.$$

Тогда

$$y=e+\frac13 e(x-3)=\frac e3\,x.$$

г)

$$y=\ln x^3=3\ln x \quad (x>0)$$

$$f(x)=3\ln x, \qquad f'(x)=\frac3x.$$

Из условия:

$$3\ln x_0-x_0\cdot \frac3{x_0}=0,$$

$$3\ln x_0-3=0,$$

$$\ln x_0=1,$$

$$x_0=e.$$

Тогда

$$y=3\ln e+\frac3e(x-e)=\frac3e\,x.$$

Ответ

а) $$y=\frac e2x$$; б) $$y=\frac1e x$$; в) $$y=\frac e3x$$; г) $$y=\frac3e x$$.