Упр.47.25 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

1. Напишите уравнение той касательной к графику функции $$y=f(x)$$, которая параллельна данной прямой $$y=kx+m$$:
   а) $$f(x)=e^{2x}$$, $$y=2ex-5$$;
   б) $$f(x)=\ln(3x+2)$$, $$y=x+7$$.

Для касательной, параллельной данной прямой, её угловой коэффициент должен совпадать с угловым коэффициентом этой прямой.

а)

$$f(x)=e^{2x}, \qquad y=2ex-5$$

У данной прямой угловой коэффициент равен $$2e$$. Тогда для касательной:

$$f'(x)=\left(e^{2x}\right)’=2e^{2x}$$

Ищем точку касания из условия:

$$2e^{2a}=2e$$

$$e^{2a}=e$$

$$2a=1,\qquad a=\frac12$$

Найдём значение функции в этой точке:

$$f\left(\frac12\right)=e^{2\cdot \frac12}=e$$

Уравнение касательной:

$$y=f(a)+f'(a)(x-a)$$

$$y=e+2e\left(x-\frac12\right)=2ex$$

б)

$$f(x)=\ln(3x+2), \qquad y=x+7$$

У данной прямой угловой коэффициент равен $$1$$. Тогда:

$$f'(x)=\left(\ln(3x+2)\right)’=\frac{3}{3x+2}$$

Ищем точку касания из условия:

$$\frac{3}{3a+2}=1$$

$$3=3a+2$$

$$3a=1,\qquad a=\frac13$$

Найдём значение функции в этой точке:

$$f\left(\frac13\right)=\ln\left(3\cdot \frac13+2\right)=\ln 3$$

Уравнение касательной:

$$y=f(a)+f'(a)(x-a)$$

$$y=\ln 3+1\left(x-\frac13\right)=x-\frac13+\ln 3$$

Ответ

а) $$y=2ex$$; б) $$y=x-\frac13+\ln 3$$.