Упр.47.24 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)
- Найдите наименьшее и наибольшее значения заданной функции на заданном отрезке: а) $$y=x+\ln(-x),\quad [-4,-0{,}5]$$; б) $$y=x+e^{-x},\quad [-\ln 4,\ln 2]$$.
а) Рассмотрим функцию $$y=x+\ln(-x)$$ на отрезке $$[-4;\,-0{,}5].$$
Найдём производную:
$$y’=(x+\ln(-x))’=1+\frac{1}{x}=\frac{x+1}{x}.$$
Критическая точка: $$y’=0 \iff x=-1.$$
На отрезке $$[-4;\,-0{,}5]$$ функция возрастает на $$[-4;\,-1]$$ и убывает на $$[-1;\,-0{,}5].$$ Значит, в точке $$x=-1$$ достигается наибольшее значение:
$$y(-1)=-1+\ln 1=-1.$$
Проверим значения на концах отрезка:
$$y(-4)=-4+\ln 4,$$
$$y(-0{,}5)=-0{,}5+\ln 0{,}5=-0{,}5-\ln 2.$$
Сравнивая эти значения, получаем, что наименьшее значение достигается при $$x=-4$$:
$$y_{\min}=-4+\ln 4,$$
$$y_{\max}=-1.$$
б) Рассмотрим функцию $$y=x+e^{-x}$$ на отрезке $$[-\ln 4;\,\ln 2].$$
Найдём производную:
$$y’=(x+e^{-x})’=1-e^{-x}.$$
Критическая точка:
$$y’=0 \iff 1-e^{-x}=0 \iff e^{-x}=1 \iff x=0.$$
Так как при $$x<0$$ имеем $$y'<0,$$ а при $$x>0$$ имеем $$y’>0,$$ то в точке $$x=0$$ достигается наименьшее значение:
$$y(0)=0+e^0=1.$$
Проверим значения на концах отрезка:
$$y(-\ln 4)=-\ln 4+e^{\ln 4}=4-\ln 4,$$
$$y(\ln 2)=\ln 2+e^{-\ln 2}=\ln 2+\frac12.$$
Наибольшее значение на отрезке:
$$y_{\max}=4-\ln 4,$$
а наименьшее:
$$y_{\min}=1.$$
Ответ: а) $$y_{\max}=-1,$$ $$y_{\min}=-4+\ln 4$$; б) $$y_{\max}=4-\ln 4,$$ $$y_{\min}=1.$$
