Упр.47.23 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)
Найдите наименьшее и наибольшее значения функции $$y=x-\ln x$$ на заданном отрезке: а) $$\left[\frac{1}{e};e\right]$$; б) $$\left[e;e^2\right]$$.
Рассмотрим функцию $$y=x-\ln x.$$
Область определения: $$x>0.$$
Найдём производную:
$$y’ = 1-\frac{1}{x}=\frac{x-1}{x}.$$
На области определения знак производной определяется числителем $$x-1$$:
- при $$0<x<1$$ имеем $$y'<0$$, значит, функция убывает;
- при $$x>1$$ имеем $$y’>0$$, значит, функция возрастает.
Следовательно, в точке $$x=1$$ функция имеет минимум, причём
$$y(1)=1-\ln 1=1.$$
а) $$\left[\frac{1}{e};\,e\right]$$
Проверим значения функции в концах отрезка и в точке минимума:
$$y\!\left(\frac{1}{e}\right)=\frac{1}{e}-\ln\frac{1}{e}=\frac{1}{e}+1,$$
$$y(1)=1,$$
$$y(e)=e-\ln e=e-1.$$
Наименьшее значение на отрезке достигается в точке $$x=1$$ и равно $$1$$, а наибольшее — в точке $$x=e$$ и равно $$e-1$$.
б) $$[e;\,e^2]$$
Так как на промежутке $$[e;\,e^2]$$ функция возрастает, то
$$y_{\min}=y(e)=e-\ln e=e-1,$$
$$y_{\max}=y(e^2)=e^2-\ln e^2=e^2-2.$$
Ответ
а) $$y_{\min}=1,\; y_{\max}=e-1.$$
б) $$y_{\min}=e-1,\; y_{\max}=e^2-2.$$
