Упр.47.22 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)
- а) $$y=2\ln x^3-5x+\frac{x^2}{2}$$; б) $$y=\ln\frac{1}{x^3}+x^2+x+3$$.
а) $$y=2\ln x^3-5x+\frac{x^2}{2}=6\ln x-5x+\frac{x^2}{2}, \qquad x>0.$$
Найдём производную:
$$y’=\frac{6}{x}-5+x=\frac{x^2-5x+6}{x}=\frac{(x-2)(x-3)}{x}.$$
Так как $$x>0,$$ знак производной определяется числителем. Получаем:
$$y’>0 \text{ при } x\in(0;2)\cup(3;+\infty),$$
$$y'<0 \text{ при } x\in(2;3).$$
Следовательно, функция возрастает на $$(0;2]\cup[3;+\infty),$$ убывает на $$[2;3].$$
В точке $$x=2$$ производная меняет знак с плюса на минус, значит, это точка максимума. В точке $$x=3$$ производная меняет знак с минуса на плюс, значит, это точка минимума.
Найдём значения функции в этих точках:
$$y(2)=2\ln 8-10+\frac{4}{2}=2\ln 8-8,$$
$$y(3)=2\ln 27-15+\frac{9}{2}=2\ln 27-\frac{21}{2}.$$
Итак, точка максимума: $$\left(2;\,2\ln 8-8\right),$$ точка минимума: $$\left(3;\,2\ln 27-\frac{21}{2}\right).$$
б) $$y=\ln\frac{1}{x^3}+x^2+x+3=-3\ln x+x^2+x+3, \qquad x>0.$$
Найдём производную:
$$y’=-\frac{3}{x}+2x+1=\frac{2x^2+x-3}{x}=\frac{(2x+3)(x-1)}{x}.$$
Так как $$x>0,$$ знак производной определяется числителем. Критические точки:
$$2x^2+x-3=0 \Rightarrow x=-\frac{3}{2},\; x=1.$$
Точка $$x=-\frac{3}{2}$$ не входит в область определения, поэтому остаётся только $$x=1.$$
Получаем:
$$y'<0 \text{ при } x\in(0;1),$$
$$y’>0 \text{ при } x\in(1;+\infty).$$
Значит, функция убывает на $$(0;1],$$ возрастает на $$[1;+\infty).$$
В точке $$x=1$$ имеем минимум:
$$y(1)=\ln 1+1+1+3=5.$$
Следовательно, точка минимума: $$(1;5).$$
Ответ: а) функция возрастает на $$(0;2]\cup[3;+\infty),$$ убывает на $$[2;3];$$ максимум при $$x=2,$$ минимум при $$x=3.$$ б) функция убывает на $$(0;1],$$ возрастает на $$[1;+\infty);$$ минимум при $$x=1,$$ $$y_{\min}=5.$$
