Упр.47.21 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)
- Исследуйте функцию на монотонность и экстремумы: а) $$y=x+\ln\frac{1}{x}$$; б) $$y=x^4-4\ln x$$.
а) Рассмотрим функцию $$y=x+\ln\frac{1}{x}=x-\ln x.$$
Область определения: $$x>0.$$
Найдём производную:
$$y’ = 1-\frac{1}{x}=\frac{x-1}{x}.$$
На области определения $$x>0$$ знак производной определяется числителем $$x-1$$:
$$\begin{cases} y'<0, & 0<x<1,\\ y’=0, & x=1,\\ y’>0, & x>1. \end{cases}$$
Следовательно, функция убывает на $$(0;1]$$ и возрастает на $$[1;+\infty)$$. В точке $$x=1$$ достигается минимум:
$$y(1)=1+\ln 1=1.$$
Итак, точка минимума: $$(1;1)$$.
б) Рассмотрим функцию $$y=x^4-4\ln x.$$
Область определения: $$x>0.$$
Найдём производную:
$$y’ = 4x^3-\frac{4}{x}=\frac{4(x^4-1)}{x}=\frac{4(x^2-1)(x^2+1)}{x}=\frac{4(x-1)(x+1)(x^2+1)}{x}.$$
На области определения $$x>0$$ имеем $$x>0$$, $$x+1>0$$ и $$x^2+1>0$$, поэтому знак производной определяется множителем $$x-1$$:
$$\begin{cases} y'<0, & 0<x<1,\\ y’=0, & x=1,\\ y’>0, & x>1. \end{cases}$$
Значит, функция убывает на $$(0;1]$$ и возрастает на $$[1;+\infty)$$. В точке $$x=1$$ достигается минимум:
$$y(1)=1^4-4\ln 1=1.$$
Итак, точка минимума: $$(1;1)$$.
Ответ
а) Функция убывает на $$(0;1]$$, возрастает на $$[1;+\infty)$$; минимум в точке $$(1;1)$$.
б) Функция убывает на $$(0;1]$$, возрастает на $$[1;+\infty)$$; минимум в точке $$(1;1)$$.
