Упр.47.20 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

Используем формулу уравнения касательной к графику функции $$y=f(x)$$ в точке с абсциссой $$x=a$$:

$$y=f'(a)(x-a)+f(a).$$

а)

$$f(x)=xe^{2x-1}, \quad a=\frac12.$$

Найдём значение функции и производной в точке $$x=\frac12$$:

$$f\!\left(\frac12\right)=\frac12\cdot e^{2\cdot \frac12-1}=\frac12\cdot e^0=\frac12.$$

$$f'(x)=(xe^{2x-1})’=e^{2x-1}+2xe^{2x-1}=e^{2x-1}(1+2x).$$

$$f’\!\left(\frac12\right)=e^0(1+1)=2.$$

Тогда

$$y=2\left(x-\frac12\right)+\frac12=2x-\frac12.$$

б)

$$f(x)=\frac{x^2-1}{e^{3-x}}, \quad a=2.$$

Найдём значение функции:

$$f(2)=\frac{2^2-1}{e^{3-2}}=\frac{3}{e}.$$

Производная:

$$f'(x)=\left(\frac{x^2-1}{e^{3-x}}\right)’=\frac{(x^2-1)’e^{3-x}-(x^2-1)(e^{3-x})’}{(e^{3-x})^2}.$$

Так как $$(e^{3-x})’=-e^{3-x},$$ получаем

$$f'(x)=\frac{2xe^{3-x}+(x^2-1)e^{3-x}}{(e^{3-x})^2}=\frac{x^2+2x-1}{e^{3-x}}.$$

Тогда

$$f'(2)=\frac{4+4-1}{e}=\frac{7}{e}.$$

Уравнение касательной:

$$y=\frac{7}{e}(x-2)+\frac{3}{e}=\frac{7}{e}x-\frac{11}{e}.$$

в)

$$f(x)=x^3\ln x, \quad a=e.$$

Найдём значение функции:

$$f(e)=e^3\ln e=e^3.$$

Производная:

$$f'(x)=(x^3\ln x)’=3x^2\ln x+x^3\cdot \frac1x=x^2(3\ln x+1).$$

Тогда

$$f'(e)=e^2(3\cdot 1+1)=4e^2.$$

Следовательно,

$$y=4e^2(x-e)+e^3=4e^2x-3e^3.$$

г)

$$f(x)=(2x+1)e^{1-2x}, \quad a=\frac12.$$

Найдём значение функции:

$$f\!\left(\frac12\right)=\left(2\cdot \frac12+1\right)e^{1-2\cdot \frac12}=2e^0=2.$$

Производная:

$$f'(x)=2e^{1-2x}+(2x+1)(-2)e^{1-2x}=-4xe^{1-2x}.$$

Тогда

$$f’\!\left(\frac12\right)=-4\cdot \frac12 \cdot e^0=-2.$$

Уравнение касательной:

$$y=-2\left(x-\frac12\right)+2=-2x+3.$$

Ответ: а) $$y=2x-\frac12$$; б) $$y=\frac{7}{e}x-\frac{11}{e}$$; в) $$y=4e^2x-3e^3$$; г) $$y=-2x+3$$.