Упр.47.19 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

Задача

Составьте уравнение касательной к графику функции $$y=f(x)$$ в точке с абсциссой $$x=a$$:

а) $$f(x)=x^5-\ln x$$, $$a=1$$;

б) $$f(x)=\frac{\ln x}{x^2}$$, $$a=1$$;

в) $$f(x)=-2x\ln x$$, $$a=e$$;

г) $$f(x)=\sqrt[3]{x}\ln x$$, $$a=1$$.

Подробный ответ

Для касательной к графику функции $$y=f(x)$$ в точке с абсциссой $$x=a$$ используем формулу:

$$y=f(a)+f'(a)(x-a).$$

а)

$$f(x)=x^5-\ln x,\quad a=1.$$

Найдём значение функции и производную:

$$f(1)=1^5-\ln 1=1,$$

$$f'(x)=(x^5-\ln x)’=5x^4-\frac{1}{x},$$

$$f'(1)=5\cdot 1^4-\frac{1}{1}=4.$$

Тогда уравнение касательной:

$$y=1+4(x-1)=4x-3.$$

б)

$$f(x)=\frac{\ln x}{x^2},\quad a=1.$$

Найдём значение функции и производную:

$$f(1)=\frac{\ln 1}{1^2}=0,$$

$$f'(x)=\left(\frac{\ln x}{x^2}\right)’=\frac{(\ln x)’ \cdot x^2-\ln x\cdot (x^2)’}{(x^2)^2}=\frac{\frac{1}{x}\cdot x^2-\ln x\cdot 2x}{x^4}=\frac{1-2\ln x}{x^3},$$

$$f'(1)=\frac{1-2\ln 1}{1^3}=1.$$

Тогда уравнение касательной:

$$y=0+1(x-1)=x-1.$$

в)

$$f(x)=-2x\ln x,\quad a=e.$$

Найдём значение функции и производную:

$$f(e)=-2e\ln e=-2e,$$

$$f'(x)=(-2x\ln x)’=-2\ln x-2x\cdot \frac{1}{x}=-2\ln x-2,$$

$$f'(e)=-2\ln e-2=-4.$$

Тогда уравнение касательной:

$$y=-2e-4(x-e)=-4x+2e.$$

г)

$$f(x)=\sqrt[3]{x}\,\ln x,\quad a=1.$$

Найдём значение функции и производную:

$$f(1)=\sqrt[3]{1}\cdot \ln 1=0,$$

$$f'(x)=\left(\sqrt[3]{x}\,\ln x\right)’=\left(x^{1/3}\right)’\ln x+x^{1/3}(\ln x)’=\frac{1}{3}x^{-2/3}\ln x+\frac{x^{1/3}}{x}=\frac{\ln x+3}{3\sqrt[3]{x^2}},$$

$$f'(1)=\frac{\ln 1+3}{3\sqrt[3]{1^2}}=1.$$

Тогда уравнение касательной:

$$y=0+1(x-1)=x-1.$$