Упр.47.14 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)
- Исследуйте функцию на монотонность и экстремумы: а) $$y=e^{2x}-3e^x+x+4$$; б) $$y=1-3x+5e^x-e^{2x}$$.
а) Найдём производную:
$$y’=(e^{2x}-3e^x+x+4)’=2e^{2x}-3e^x+1.$$
Решим уравнение $$y’=0$$:
$$2e^{2x}-3e^x+1=0.$$
Обозначим $$t=e^x$$, тогда $$t>0$$ и получаем:
$$2t^2-3t+1=0,$$
$$D=9-8=1,$$
$$t_1=\frac{3-1}{4}=\frac12,\qquad t_2=\frac{3+1}{4}=1.$$
Следовательно,
$$e^x=\frac12 \Rightarrow x=\ln\frac12=-\ln 2,$$
$$e^x=1 \Rightarrow x=0.$$
Исследуем знак производной:
$$y’=2e^{2x}-3e^x+1=(2e^x-1)(e^x-1).$$
Так как $$e^x>0$$, то:
- при $$x\in(-\infty;-\ln 2)$$ имеем $$y’>0$$;
- при $$x\in(-\ln 2;0)$$ имеем $$y'<0$$;
- при $$x\in(0;+\infty)$$ имеем $$y’>0$$.
Значит, функция возрастает на $$(-\infty;-\ln 2] \cup [0;+\infty)$$ и убывает на $$[-\ln 2;0]$$.
В точке $$x=-\ln 2$$ — локальный максимум, а в точке $$x=0$$ — локальный минимум.
б) Найдём производную:
$$y’=(1-3x+5e^x-e^{2x})’=-3+5e^x-2e^{2x}.$$
Решим уравнение $$y’=0$$:
$$-3+5e^x-2e^{2x}=0,$$
$$2e^{2x}-5e^x+3=0.$$
Положим $$t=e^x$$, тогда $$t>0$$ и
$$2t^2-5t+3=0,$$
$$D=25-24=1,$$
$$t_1=\frac{5-1}{4}=1,\qquad t_2=\frac{5+1}{4}=\frac32.$$
Отсюда
$$e^x=1 \Rightarrow x=0,$$
$$e^x=\frac32 \Rightarrow x=\ln\frac32=\ln 1{,}5.$$
Исследуем знак производной:
$$y’=-\,(2e^x-3)(e^x-1).$$
- при $$x\in(-\infty;0)$$ имеем $$y'<0$$;
- при $$x\in(0;\ln 1{,}5)$$ имеем $$y’>0$$;
- при $$x\in(\ln 1{,}5;+\infty)$$ имеем $$y'<0$$.
Следовательно, функция убывает на $$(-\infty;0] \cup [\ln 1{,}5;+\infty)$$ и возрастает на $$[0;\ln 1{,}5]$$.
В точке $$x=0$$ — локальный минимум, а в точке $$x=\ln 1{,}5$$ — локальный максимум.
Ответ
а) Функция возрастает на $$(-\infty;-\ln 2] \cup [0;+\infty)$$, убывает на $$[-\ln 2;0]$$; $$x=-\ln 2$$ — точка максимума, $$x=0$$ — точка минимума.
б) Функция убывает на $$(-\infty;0] \cup [\ln 1{,}5;+\infty)$$, возрастает на $$[0;\ln 1{,}5]$$; $$x=\ln 1{,}5$$ — точка максимума, $$x=0$$ — точка минимума.
