Упр.47.12 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)
Исследуйте функцию на монотонность и экстремумы:
а) $$y=x^2e^x$$; б) $$y=xe^{2x-4}$$; в) $$y=x^3e^x$$; г) $$y=\frac{e^x}{x}$$.
а) $$y=x^2e^x$$
Область определения: $$x\in\mathbb{R}.$$
Найдём производную:
$$y’=(x^2e^x)’=2xe^x+x^2e^x=xe^x(x+2).$$
Так как $$e^x>0$$ при всех $$x,$$ знак производной определяется выражением $$x(x+2).$$
$$y’>0 \text{ при } x\in(-\infty;-2)\cup(0;+\infty),$$
$$y'<0 \text{ при } x\in(-2;0).$$
Следовательно, функция возрастает на $$(-\infty;-2]\cup[0;+\infty),$$ убывает на $$[-2;0].$$
В точке $$x=-2$$ — локальный максимум, $$y(-2)=4e^{-2}=\dfrac{4}{e^2}.$$
В точке $$x=0$$ — локальный минимум, $$y(0)=0.$$
б) $$y=xe^{2x-4}$$
Область определения: $$x\in\mathbb{R}.$$
Найдём производную:
$$y’=(xe^{2x-4})’=e^{2x-4}+2xe^{2x-4}=e^{2x-4}(1+2x).$$
Так как $$e^{2x-4}>0,$$ знак производной определяется выражением $$1+2x.$$
$$y'<0 \text{ при } x\in(-\infty;-\tfrac12),$$
$$y’>0 \text{ при } x\in(-\tfrac12;+\infty).$$
Следовательно, функция убывает на $$(-\infty;-\tfrac12],$$ возрастает на $$[-\tfrac12;+\infty).$$
В точке $$x=-\tfrac12$$ — минимум,
$$y\!\left(-\tfrac12\right)=-\tfrac12\cdot e^{-5}=-\dfrac{1}{2e^5}.$$
в) $$y=x^3e^x$$
Область определения: $$x\in\mathbb{R}.$$
Найдём производную:
$$y’=(x^3e^x)’=3x^2e^x+x^3e^x=x^2e^x(x+3).$$
Так как $$x^2\ge 0$$ и $$e^x>0,$$ знак производной определяется выражением $$x+3.$$
$$y'<0 \text{ при } x\in(-\infty;-3),$$
$$y’>0 \text{ при } x\in(-3;+\infty).$$
Следовательно, функция убывает на $$(-\infty;-3],$$ возрастает на $$[-3;+\infty).$$
В точке $$x=-3$$ — минимум,
$$y(-3)=-27e^{-3}=-\dfrac{27}{e^3}.$$
г) $$y=\dfrac{e^x}{x}$$
Область определения: $$x\in(-\infty;0)\cup(0;+\infty).$$
Найдём производную:
$$y’=\left(\dfrac{e^x}{x}\right)’=\dfrac{e^x\cdot x-e^x\cdot 1}{x^2}=\dfrac{e^x(x-1)}{x^2}.$$
Так как $$e^x>0$$ и $$x^2>0$$ при $$x\ne 0,$$ знак производной определяется выражением $$x-1.$$
$$y'<0 \text{ при } x\in(-\infty;0)\cup(0;1),$$
$$y’>0 \text{ при } x\in(1;+\infty).$$
Следовательно, функция убывает на $$(-\infty;0)\cup(0;1],$$ возрастает на $$[1;+\infty).$$
В точке $$x=1$$ — минимум,
$$y(1)=e.$$
Ответ
а) возрастает на $$(-\infty;-2]\cup[0;+\infty),$$ убывает на $$[-2;0]$$; максимум при $$x=-2,$$ минимум при $$x=0$$.
б) убывает на $$(-\infty;-\tfrac12],$$ возрастает на $$[-\tfrac12;+\infty)$$; минимум при $$x=-\tfrac12$$.
в) убывает на $$(-\infty;-3],$$ возрастает на $$[-3;+\infty)$$; минимум при $$x=-3$$.
г) убывает на $$(-\infty;0)\cup(0;1],$$ возрастает на $$[1;+\infty)$$; минимум при $$x=1$$.
