Упр.47.11 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)
а) $$y=e^{3x-1}, \quad a=\frac13$$
Найдём значение функции и производной в точке $$x=\frac13$$:
$$y\!\left(\frac13\right)=e^{3\cdot \frac13-1}=e^0=1,$$
$$y'(x)=(e^{3x-1})’=3e^{3x-1},$$
$$y’\!\left(\frac13\right)=3e^{3\cdot \frac13-1}=3e^0=3.$$
Уравнение касательной:
$$y=y(a)+y'(a)(x-a),$$
$$y=1+3\left(x-\frac13\right)=3x.$$
Ответ: $$y=3x.$$
б) $$y=xe^{-2x+1}, \quad a=0{,}5$$
Найдём значение функции и производной в точке $$x=0{,}5$$:
$$y(0{,}5)=0{,}5\cdot e^{-2\cdot 0{,}5+1}=0{,}5\cdot e^0=0{,}5,$$
$$y'(x)=(xe^{-2x+1})’=e^{-2x+1}-2xe^{-2x+1}=e^{-2x+1}(1-2x),$$
$$y'(0{,}5)=e^{-2\cdot 0{,}5+1}(1-2\cdot 0{,}5)=e^0\cdot 0=0.$$
Тогда
$$y=0{,}5+0\cdot (x-0{,}5)=0{,}5.$$
Ответ: $$y=0{,}5.$$
в) $$y=\frac{2}{e^x}, \quad a=0$$
Найдём значение функции и производной в точке $$x=0$$:
$$y(0)=\frac{2}{e^0}=2,$$
$$y'(x)=\left(2e^{-x}\right)’=-2e^{-x},$$
$$y'(0)=-2e^0=-2.$$
Уравнение касательной:
$$y=2-2(x-0)=2-2x.$$
Ответ: $$y=2-2x.$$
г) $$y=\frac{e^x}{x+1}, \quad a=0$$
Найдём значение функции и производной в точке $$x=0$$:
$$y(0)=\frac{e^0}{0+1}=1,$$
$$y'(x)=\left(\frac{e^x}{x+1}\right)’=\frac{e^x(x+1)-e^x}{(x+1)^2}=\frac{xe^x}{(x+1)^2},$$
$$y'(0)=\frac{0\cdot e^0}{(0+1)^2}=0.$$
Тогда
$$y=1+0\cdot (x-0)=1.$$
Ответ: $$y=1.$$
