Упр.47.10 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

1. Напишите уравнение касательной к графику функции $$y=f(x)$$ в точке с абсциссой $$x=a$$: а) $$y=e^x$$, $$a=1$$; б) $$y=e^x$$, $$a=2$$; в) $$y=e^x$$, $$a=0$$; г) $$y=e^x$$, $$a=-1$$.

Для функции $$y=e^x$$ производная равна $$y’=e^x$$. Уравнение касательной в точке с абсциссой $$x=a$$ имеет вид

$$y=y(a)+y'(a)(x-a).$$

Ход решения

1. При $$a=1$$:

   $$y(1)=e,\quad y'(1)=e.$$

   $$y=e+e(x-1)=ex.$$

2. При $$a=2$$:

   $$y(2)=e^2,\quad y'(2)=e^2.$$

   $$y=e^2+e^2(x-2)=e^2x-e^2=e^2(x-1).$$

3. При $$a=0$$:

   $$y(0)=1,\quad y'(0)=1.$$

   $$y=1+1\cdot(x-0)=x+1.$$

4. При $$a=-1$$:

   $$y(-1)=e^{-1}=\frac{1}{e},\quad y'(-1)=\frac{1}{e}.$$

   $$y=\frac{1}{e}+\frac{1}{e}(x+1)=\frac{x+2}{e}.$$

Ответ

а) $$y=ex$$; б) $$y=e^2(x-1)$$; в) $$y=x+1$$; г) $$y=\frac{x+2}{e}$$.