Упр.46.9 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

1. Вычислите:
   а) $$9^{\log_3 4}+\log_{\sqrt{6}}3\cdot\log_3 36$$;
   б) $$\log_3 8\cdot\log_2 27-3^{\log_9 25}$$;
   в) $$3^{4\log_3 2}+\log_5\sqrt{2}\cdot\log_4 25$$;
   г) $$10^{0{,}5\lg 16}+14\log_3\sqrt{2}\cdot\log_4 81$$.

а) $$9^{\log_3 4}+\log_{\sqrt{6}}3\cdot \log_3 36$$

$$9^{\log_3 4}=(3^2)^{\log_3 4}=3^{2\log_3 4}=3^{\log_3 4^2}=16,$$
$$\log_{\sqrt{6}}3\cdot \log_3 36=\log_{\sqrt{6}}36=\log_{6^{1/2}}6^2=4.$$

$$16+4=20.$$

б) $$\log_3 8\cdot \log_2 27-3^{\log_9 25}$$

$$\log_3 8\cdot \log_2 27=\log_3 2^3\cdot \log_2 3^3=3\log_3 2\cdot 3\log_2 3=9,$$
$$3^{\log_9 25}=3^{\log_{3^2}5^2}=3^{\log_3 5}=5.$$

$$9-5=4.$$

в) $$3^{4\log_3 2}+\log_5 \sqrt{2}\cdot \log_4 25$$

$$3^{4\log_3 2}=3^{\log_3 2^4}=16,$$
$$\log_5 \sqrt{2}\cdot \log_4 25=\log_5 2^{1/2}\cdot \log_4 5^2=\frac12\log_5 2\cdot 2\log_4 5=\log_5 2\cdot \log_4 5.$$

Переходим к общему основанию:
$$\log_5 2\cdot \log_4 5=\frac{\lg 2}{\lg 5}\cdot \frac{\lg 5}{\lg 4}=\frac{\lg 2}{\lg 4}=\frac12.$$

$$16+\frac12=16{,}5.$$

г) $$10^{0{,}5\lg 16}+14\log_3 \sqrt{2}\cdot \log_4 81$$

$$10^{0{,}5\lg 16}=10^{\lg \sqrt{16}}=4,$$
$$14\log_3 \sqrt{2}\cdot \log_4 81=14\cdot \frac12\log_3 2\cdot \log_4 3^4=14\cdot \frac12\log_3 2\cdot 4\log_4 3.$$

Так как
$$\log_3 2\cdot \log_4 3=\frac{\lg 2}{\lg 3}\cdot \frac{\lg 3}{\lg 4}=\frac{\lg 2}{\lg 4}=\frac12,$$
то
$$14\cdot \frac12\cdot 4\cdot \frac12=14.$$

$$4+14=18.$$

Ответ: а) 20; б) 4; в) 16,5; г) 18.