Упр.46.8 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

а) $$3\log_3^2 x = \frac{5}{\log_x 3} + 2$$; б) $$2\log_2^2 x = \frac{5}{\log_x 2} + 3$$

а) Область допустимых значений: $$x>0,\; x\ne 1.$$

Преобразуем уравнение:

$$3\log_3^2 x=\frac{5}{\log_x 3}+2$$

Так как $$\log_x 3=\frac{1}{\log_3 x},$$ получаем

$$3\log_3^2 x=5\log_3 x+2.$$

Сделаем замену $$t=\log_3 x.$$ Тогда

$$3t^2-5t-2=0.$$

Решим квадратное уравнение:

$$D=25+24=49,$$

$$t_{1,2}=\frac{5\pm 7}{6}.$$

Тогда

$$t_1=-\frac{1}{3},\qquad t_2=2.$$

Возвращаемся к переменной $$x$$:

$$\log_3 x=-\frac{1}{3}\Rightarrow x=3^{-1/3}=\frac{1}{\sqrt[3]{3}},$$

$$\log_3 x=2\Rightarrow x=3^2=9.$$

Ответ: $$\frac{1}{\sqrt[3]{3}};\; 9.$$

б) Область допустимых значений: $$x>0,\; x\ne 1.$$

Преобразуем уравнение:

$$2\log_2^2 x=\frac{5}{\log_x 2}+3$$

Так как $$\log_x 2=\frac{1}{\log_2 x},$$ получаем

$$2\log_2^2 x=5\log_2 x+3.$$

Сделаем замену $$t=\log_2 x.$$ Тогда

$$2t^2-5t-3=0.$$

Решим квадратное уравнение:

$$D=25+24=49,$$

$$t_{1,2}=\frac{5\pm 7}{4}.$$

Тогда

$$t_1=-\frac{1}{2},\qquad t_2=3.$$

Возвращаемся к переменной $$x$$:

$$\log_2 x=-\frac{1}{2}\Rightarrow x=2^{-1/2}=\frac{1}{\sqrt{2}},$$

$$\log_2 x=3\Rightarrow x=2^3=8.$$

Ответ: $$\frac{1}{\sqrt{2}};\; 8.$$