Упр.46.7 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

1. Решите уравнение:
   а) $$\log_4 x+\log_{16} x+\log_2 x=7$$;
   б) $$\log_3 x+\log_{\sqrt{3}} x+\log_{\frac{1}{3}} x=6$$.

а) $$\log_4 x+\log_{16} x+\log_2 x=7$$

Перейдём к основанию $$2$$:

$$\log_4 x=\frac{1}{2}\log_2 x,\qquad \log_{16} x=\frac{1}{4}\log_2 x$$

Тогда

$$\frac{1}{2}\log_2 x+\frac{1}{4}\log_2 x+\log_2 x=7$$

$$\left(\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+1\right)\log_2 x=7$$

$$\frac{7}{4}\log_2 x=7$$

$$\log_2 x=4$$

$$x=2^4=16$$

Ответ: $$16$$.

б) $$\log_3 x+\log_{\sqrt{3}} x+\log_{\frac13} x=6$$

Перейдём к основанию $$3$$:

$$\log_{\sqrt{3}} x=\log_{3^{1/2}} x=2\log_3 x,\qquad \log_{\frac13} x=\log_{3^{-1}} x=-\log_3 x$$

Тогда

$$\log_3 x+2\log_3 x-\log_3 x=6$$

$$2\log_3 x=6$$

$$\log_3 x=3$$

$$x=3^3=27$$

Ответ: $$27$$.