Упр.46.16 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

1. Решите неравенство: а) $$\log_9 x^2+\log_3^2(-x)<2$$; б) $$\log_4 x^2+\log_2^2(-x)>6$$.

а) Рассмотрим неравенство

$$\log_9 x^2+\log_3^2(-x)<2.$$

Область допустимых значений: $$-x>0,$$ то есть $$x<0.$$

Преобразуем первый логарифм:

$$\log_9 x^2=\log_{3^2}x^2=\log_3 x.$$

Так как при $$x<0$$ имеем $$x^2=(-x)^2,$$ то удобнее сделать замену:

$$t=\log_3(-x).$$

Тогда

$$t^2+t-2<0,$$

$$(t+2)(t-1)<0,$$

$$-2<t<1.$$

Возвращаемся к переменной $$x$$:

$$-2<\log_3(-x)<1.$$

Так как основание $$3>1,$$ получаем

$$3^{-2}<-x<3^1,$$

$$\frac{1}{9}<-x<3,$$

$$-3<x<-\frac{1}{9}.$$

Ответ: $$x\in\left(-3;\,-\frac{1}{9}\right).$$

Ответ

б) Рассмотрим неравенство

$$\log_4 x^2+\log_2^2(-x)>6.$$

Область допустимых значений: $$-x>0,$$ то есть $$x<0.$$

Преобразуем первый логарифм:

$$\log_4 x^2=\log_{2^2}x^2=\log_2(-x).$$

Сделаем замену:

$$t=\log_2(-x).$$

Тогда

$$t^2+t-6>0,$$

$$(t+3)(t-2)>0,$$

$$t<-3 \ \text{или}\ t>2.$$

Возвращаемся к переменной $$x$$:

$$\log_2(-x)<-3 \ \text{или}\ \log_2(-x)>2.$$

Так как основание $$2>1,$$ получаем

$$-x<2^{-3} \ \text{или}\ -x>2^2,$$

$$-x<\frac{1}{8} \ \text{или}\ -x>4.$$

С учётом условия $$x<0$$ имеем

$$x>-\frac{1}{8} \ \text{или}\ x<-4.$$

Ответ: $$x\in(-\infty;\,-4)\cup\left(-\frac{1}{8};\,0\right).$$