Упр.46.14 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

а) $$\log_4(x+12)\cdot\log_x 2=1$$;

б) $$1+\log_x 5\cdot\log_7 x=\log_5 35\cdot\log_x 5$$.

а) Рассмотрим уравнение

$$\log_4(x+12)\cdot \log_x 2=1.$$

Область допустимых значений:

$$x>0,\quad x\ne 1,\quad x+12>0.$$

Так как $$\log_x 2=\dfrac{1}{\log_2 x},$$ то

$$\log_4(x+12)\cdot \frac{1}{\log_2 x}=1.$$

Следовательно,

$$\log_4(x+12)=\log_2 x.$$

Переходим к основанию $$4$$:

$$\log_2 x=\log_4 x^2,$$

тогда

$$\log_4(x+12)=\log_4 x^2.$$

Отсюда

$$x+12=x^2.$$

Решим квадратное уравнение:

$$x^2-x-12=0$$

$$\left(x-4\right)\left(x+3\right)=0.$$

Получаем корни:

$$x_1=4,\quad x_2=-3.$$

С учётом ОДЗ подходит только $$x=4$$.

б) Рассмотрим уравнение

$$1+\log_x 5\cdot \log_7 x=\log_5 35\cdot \log_x 5.$$

Область допустимых значений:

$$x>0,\quad x\ne 1.$$

Преобразуем левую часть, используя $$\log_x 5=\dfrac{1}{\log_5 x}$$ и $$\log_7 x=\dfrac{\log_5 x}{\log_5 7}$$:

$$1+\frac{1}{\log_5 x}\cdot \log_7 x=\log_5 35\cdot \frac{1}{\log_5 x}.$$

Умножим обе части на $$\log_5 x$$:

$$\log_5 x+\log_7 x=\log_5 35.$$

Переходим к основанию $$5$$:

$$\log_7 x=\frac{\log_5 35-\log_5 x}{1}.$$

Удобнее заметить, что $$\log_5 35=\log_5(5\cdot 7)=1+\log_5 7.$$ Тогда

$$\log_5 x+\log_7 x=1+\log_5 7.$$

Положим $$\log_7 x=t$$. Тогда $$\log_5 x=t\log_5 7$$, и получаем

$$t\log_5 7+t=1+\log_5 7.$$

$$t(\log_5 7+1)=\log_5 7+1.$$

$$t=1.$$

Значит,

$$\log_7 x=1,\quad x=7.$$

Это значение удовлетворяет ОДЗ.

Ответ: а) $$4$$; б) $$7$$.