Упр.46.13 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)
Решите уравнение:
- а) $$\log_3 x+1=2\log_x 3$$;
- б) $$2\log_x 5-3=-\log_5 x$$;
- в) $$\log_7 x-1=6\log_x 7$$;
- г) $$\log_2 x+9\log_x 2=10$$.
а) $$\log_3 x+1=2\log_x 3$$
Используем формулу перехода к новому основанию:
$$\log_x 3=\frac{1}{\log_3 x}$$
Пусть $$t=\log_3 x$$, тогда
$$t+1=\frac{2}{t}$$
$$t^2+t-2=0$$
$$\left(t+2\right)\left(t-1\right)=0$$
$$t_1=-2,\quad t_2=1$$
Возвращаемся к переменной $$x$$:
$$\log_3 x=-2 \Rightarrow x=3^{-2}=\frac{1}{9}$$
$$\log_3 x=1 \Rightarrow x=3^1=3$$
Ответ: $$\frac{1}{9};\ 3$$
б) $$2\log_x 5-3=-\log_5 x$$
Переходим к основанию $$5$$:
$$\log_x 5=\frac{1}{\log_5 x}$$
Пусть $$t=\log_5 x$$, тогда
$$\frac{2}{t}-3=-t$$
$$t^2-3t+2=0$$
$$\left(t-1\right)\left(t-2\right)=0$$
$$t_1=1,\quad t_2=2$$
Тогда
$$\log_5 x=1 \Rightarrow x=5$$
$$\log_5 x=2 \Rightarrow x=25$$
Ответ: $$5;\ 25$$
в) $$\log_7 x-1=6\log_x 7$$
Используем формулу перехода к новому основанию:
$$\log_x 7=\frac{1}{\log_7 x}$$
Пусть $$t=\log_7 x$$, тогда
$$t-1=\frac{6}{t}$$
$$t^2-t-6=0$$
$$\left(t-3\right)\left(t+2\right)=0$$
$$t_1=3,\quad t_2=-2$$
Следовательно,
$$\log_7 x=3 \Rightarrow x=7^3=343$$
$$\log_7 x=-2 \Rightarrow x=7^{-2}=\frac{1}{49}$$
Ответ: $$\frac{1}{49};\ 343$$
г) $$\log_2 x+9\log_x 2=10$$
Переходим к основанию $$2$$:
$$\log_x 2=\frac{1}{\log_2 x}$$
Пусть $$t=\log_2 x$$, тогда
$$t+\frac{9}{t}=10$$
$$t^2-10t+9=0$$
$$\left(t-1\right)\left(t-9\right)=0$$
$$t_1=1,\quad t_2=9$$
Тогда
$$\log_2 x=1 \Rightarrow x=2$$
$$\log_2 x=9 \Rightarrow x=2^9=512$$
Ответ: $$2;\ 512$$
