Упр.46.12 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

Известно, что $$\log_2 5=a$$, $$\log_2 3=b$$. Вычислите: а) $$\log_3 15$$; б) $$\log_8 75$$; в) $$\log_{16}45$$; г) $$\log_{15}12$$.

Используем формулу перехода к новому основанию:

$$\log_c x=\frac{\log_2 x}{\log_2 c}$$

и свойства логарифмов.

1. $$\log_3 15=\frac{\log_2 15}{\log_2 3}=\frac{\log_2(5\cdot 3)}{\log_2 3}=\frac{\log_2 5+\log_2 3}{\log_2 3}=\frac{a+b}{b}$$

2. $$\log_8 75=\frac{\log_2 75}{\log_2 8}=\frac{\log_2(5^2\cdot 3)}{\log_2 2^3}=\frac{2\log_2 5+\log_2 3}{3}=\frac{2a+b}{3}$$

3. $$\log_{16} 45=\frac{\log_2 45}{\log_2 16}=\frac{\log_2(5\cdot 3^2)}{\log_2 2^4}=\frac{\log_2 5+2\log_2 3}{4}=\frac{a+2b}{4}$$

4. $$\log_{15} 12=\frac{\log_2 12}{\log_2 15}=\frac{\log_2(2^2\cdot 3)}{\log_2(5\cdot 3)}=\frac{2\log_2 2+\log_2 3}{\log_2 5+\log_2 3}=\frac{2+b}{a+b}$$

Ответ: $$\frac{a+b}{b},\ \frac{2a+b}{3},\ \frac{a+2b}{4},\ \frac{2+b}{a+b}$$